Variabel Acak Diskrit & Fungsi Peluang — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa mendefinisikan variabel acak diskrit, menyusun tabel distribusi peluangnya, dan memeriksa syarat jumlah peluang sama dengan satu.

Kamu melempar dua dadu sekaligus. Hasilnya bisa berupa pasangan seperti (3, 5) atau (1, 1) — terlalu banyak untuk diingat. Tapi kalau kamu hanya peduli pada jumlah mata yang muncul, tiba-tiba semua pasangan itu bisa diringkas menjadi satu angka antara 2 dan 12. Inilah inti variabel acak: menerjemahkan dunia acak menjadi bilangan yang bisa dihitung peluangnya. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol di bawah dan perhatikan jumlah mata dua dadu yang muncul membentuk pola tertentu.

Dari hasil percobaan ke bilangan

Saat melempar koin, hasilnya adalah GAR atau GAM — bukan bilangan. Agar bisa dihitung peluangnya secara matematika, kita memetakan hasil itu ke angka: misalnya GAR = 1, GAM = 0. Pemetaan semacam inilah yang disebut variabel acak. Untuk percobaan yang hasilnya sudah berupa angka (seperti mata dadu), variabel acaknya bisa langsung pakai nilai itu sendiri.

Variabel acak diskrit $X$ adalah aturan yang memetakan setiap hasil percobaan ke sebuah bilangan, dengan himpunan nilai yang mungkin dapat dihitung (biasanya berupa $x_1, x_2, x_3, \ldots$ ). Kata “diskrit” menandai nilai-nilai itu terpisah, bukan kontinu.

Pada simulasi di atas, variabel acaknya adalah $X$ = jumlah mata dua dadu. Nilai yang mungkin adalah 2, 3, 4, sampai 12 — sebelas nilai diskrit. Setiap nilai memiliki peluang sendiri yang dapat dihitung dari berbagai kombinasi pasangan dadu.

Fungsi peluang dan tabel distribusi

Untuk tiap nilai $x$ yang mungkin dari variabel acak $X$ , kita hitung peluangnya $P(X = x)$ . Daftar pasangan nilai dan peluang inilah distribusi peluang, lazim ditulis sebagai tabel dengan kolom $x_i$ dan $p_i$ . Karena distribusi peluang harus lengkap mencakup semua hasil, jumlah seluruh $p_i$ harus tepat 1.

$p_i = P(X = x_i), \quad \sum_{i} p_i = 1, \quad 0 \leq p_i \leq 1$

Arti tiap simbol: $p_i$ = peluang variabel acak $X$ bernilai $x_i$ ; tanda jumlah berarti peluang semua nilai yang mungkin dijumlahkan. Syarat wajib: tiap peluang tak negatif, dan totalnya persis 1 (100%).

Pada plot di bawah, tiap batang menunjukkan peluang teoretis jumlah mata dua dadu. Batang tengah (jumlah 7) tertinggi karena paling banyak kombinasi menghasilkan 7; batang ujung (2 dan 12) terendah karena hanya satu kombinasi. Total luas semua batang = 1.

Menggambar distribusi peluang sendiri

Untuk benar-benar merasakan distribusi peluang, coba susun sendiri di bawah. Slider $p$ mengubah peluang nilai-nilai tertentu, dan kamu bisa lihat apakah totalnya tetap 1 atau tidak. Ini melatih intuisi bahwa distribusi peluang adalah alokasi 100% ke beberapa kemungkinan.

Bayangkan distribusi peluang seperti makanan yang dibagi ke piring-piring — setiap piring adalah satu nilai $x_i$ . Total makanan selalu 1 porsi penuh; kamu bebas membaginya asal tiap piring dapat porsi tak negatif dan habis terbagi. Distribusi seragam adalah saat semua piring dapat porsi sama besar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Susun tabel distribusi peluang untuk $X$ = jumlah mata dua dadu, lalu tentukan peluang $X = 7$ dan $X \geq 11$ .

Total pasangan dua dadu = $6 \times 6 = 36$ kombinasi. Untuk $X = 7$ , kombinasi yang mungkin: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — ada 6 kombinasi.

$P(X = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . Untuk $X \geq 11$ : $P(X = 11) = \frac{2}{36}$ (kombinasi (5,6),(6,5)) dan $P(X = 12) = \frac{1}{36}$ (kombinasi (6,6)). Jadi $P(X \geq 11) = \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ .

Jumlahkan peluang seluruh nilai $X$ dari 2 sampai 12: $\frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$ . Syarat distribusi terpenuhi, tabel valid.

Latih kecepatan mengisi nilai peluang yang hilang agar totalnya 1 di bawah.

Jebakan: melupakan nilai-nilai yang mungkin saat menyusun tabel, sehingga jumlah peluang kurang dari 1. Yang benar: hitung semua nilai $x_i$ yang mungkin dulu, baru alokasi peluang. Verifikasi akhir: jumlahkan semua $p_i$ dan pastikan tepat 1.

Jebakan: mencampur peluang satu nilai dengan peluang gabungan beberapa nilai. Yang benar: $P(X = x_i)$ di tabel adalah peluang tepat satu nilai. Peluang gabungan seperti $P(X \geq a)$ dihitung dengan menjumlahkan peluang semua nilai yang memenuhi syarat itu.

Variabel acak diskrit $X$ memetakan hasil percobaan ke bilangan yang dapat dihitung.
Distribusi peluang = daftar pasangan $(x_i, p_i)$ dengan $p_i = P(X = x_i)$ .
Dua syarat wajib: $0 \leq p_i \leq 1$ dan $\sum p_i = 1$ .
Peluang gabungan $P(X \geq a)$ dijumlah dari peluang nilai-nilai yang memenuhi.
Tabel adalah bentuk paling jelas distribusi peluang diskrit.