Nilai Harapan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung nilai harapan variabel acak diskrit dan memakainya menilai untung-rugi pada permainan serta undian jangka panjang.

Sebuah stan pasar malam menjual tiket undian: sebagian menang hadiah, sebagian kalah. Tidak ada satu tiket pun yang dijamin untung. Tapi kalau kamu menjual ribuan tiket, rata-rata pendapatan per tiket menstabil di satu angka — itulah nilai harapan. Bandar undian tahu angka ini dengan tepat, dan itulah sebabnya mereka selalu untung dalam jangka panjang. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol di bawah dan perhatikan peluang menang undian dibanding hasil simulasi.

Rerata jangka panjang variabel acak

Bila sebuah percobaan diulang sangat banyak kali, rata-rata hasil per percobaan akan menstabil di sebuah angka — angka itulah nilai harapan (rerata matematis) variabel acak. Nilai harapan bukanlah nilai yang paling sering muncul; ia adalah rata-rata berbobot, di mana tiap nilai ditimbang oleh peluangnya.

Nilai harapan (ditulis $E(X)$ atau $\mu$ ) variabel acak diskrit $X$ adalah rerata berbobot: $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ . Nilai harapan adalah rata-rata hasil bila percobaan diulang sangat banyak kali.

Pada simulasi di atas, simulasi undian menggambarkan bagaimana frekuensi relatif menstabil di peluang teoretis 1/4 tiap jenis kartu. Dari distribusi stabil inilah nilai harapan dihitung sebagai rerata berbobot — bukan ditebak.

Menghitung nilai harapan dari tabel distribusi

Untuk menghitung $E(X)$ , kalikan tiap nilai $x_i$ dengan peluangnya $p_i$ , lalu jumlahkan. Hasilnya adalah rerata jangka panjang. Tabel distribusi peluang menjadi titik tolak perhitungan.

$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$

Arti tiap simbol: $E(X)$ = nilai harapan; $x_i$ = nilai yang mungkin; $p_i = P(X = x_i)$ peluang nilai itu. Setiap nilai ditimbang peluangnya, lalu dijumlah — seperti menghitung rerata kelas yang bobot tiap siswa berbeda.

Plot di bawah memperlihatkan nilai-nilai $x_i$ sebagai titik pada garis bilangan, dengan ukuran (dan warna) sesuai peluangnya. Titik tumpu merah menandai nilai harapan — bukan nilai mana pun, melainkan pusat massa distribusi.

Aplikasi: untung-rugi bandar

Nilai harapan adalah senjata rahasia bandar undian. Bila harga jual satu tiket lebih besar dari nilai harapan hadiah, bandar untung dalam jangka panjang. Bila lebih kecil, bandar rugi — mustahil untuk model bisnis yang sehat. Plot di bawah memperlihatkan bagaimana laba bandar per tiket bergeser saat harga jual berubah.

Soal nilai harapan sering muncul di UTBK Penalaran Matematika (domain data dan ketidakpastian). Pola umum: diberi tabel distribusi peluang hadiah, ditanya rata-rata keuntungan bandar, atau ditanya apakah permainan adil. Triknya: hitung $E(X)$ lalu bandingkan dengan harga tiket; bila $E(X)$ kurang dari harga, permainan menguntungkan penjual.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah undian menjual tiket Rp2.000. Hadiah: peluang $\frac{1}{100}$ menang Rp50.000, peluang $\frac{99}{100}$ tidak menang (Rp0). Hitung nilai harapan hadiah per tiket dan tentukan apakah undian ini menguntungkan penjual.

Variabel acak $X$ = hadiah per tiket: $X = 50.000$ dengan peluang $\frac{1}{100}$ , dan $X = 0$ dengan peluang $\frac{99}{100}$ . Verifikasi jumlah peluang: $\frac{1}{100} + \frac{99}{100} = 1$ , valid.

$E(X) = 50.000 \cdot \frac{1}{100} + 0 \cdot \frac{99}{100} = 500 + 0 = 500$ . Rerata hadiah per tiket = Rp500.

Harga jual Rp2.000 lebih besar dari nilai harapan Rp500. Selisih Rp2.000 − Rp500 = Rp1.500 per tiket adalah laba penjual. Karena nilai harapan kurang dari harga jual, undian ini menguntungkan penjual (rugi pembeli rata-rata) dalam jangka panjang.

Latih kecepatan menghitung nilai harapan dengan angka acak di bawah.

Jebakan: mengira nilai harapan harus sama dengan salah satu nilai yang muncul. Yang benar: nilai harapan adalah rerata berbobot yang sering kali bukan nilai mana pun — misalnya 3,5 untuk dadu, padahal tidak ada sisi 3,5.

Jebakan: menilai untung-rugi dari satu kali percobaan. Yang benar: nilai harapan adalah rerata jangka panjang. Satu tiket mungkin menang besar, tetapi ribuan tiket menstabil di nilai harapan — dan di situlah bandar mengunci keuntungannya.

Nilai harapan $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ = rerata berbobot nilai dan peluangnya.
$E(X)$ adalah rata-rata hasil bila percobaan diulang sangat banyak kali.
Permainan adil bila nilai harapan hadiah = harga tiket.
Bandar untung bila harga jual lebih besar dari nilai harapan.
Nilai harapan bukan nilai yang paling sering muncul.