Langsung ke isi
Lyra
Matematika ยท Kelas 11โ€“12 ยท Fase F ยท 7 menit baca

Distribusi Seragam Diskrit

Setelah ini kamu bisa mengenali distribusi seragam diskrit, menghitung rerata dan ragamnya, serta membedakannya dari distribusi tidak seragam.

Sebuah dadu jujur punya enam sisi dengan peluang muncul sama besar, yaitu per-enam. Tapi dadu โ€œberat sebelahโ€ punya sisi yang lebih sering muncul โ€” bukan seragam lagi. Distribusi seragam adalah distribusi paling adil: semua hasil diperlakukan setara, tidak ada yang dimuliakan. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol dan bandingkan dadu jujur dengan dadu berat sebelah di bawah.

Ciri distribusi seragam: semua peluang sama

Distribusi seragam diskrit adalah distribusi peluang yang paling sederhana: semua nilai yang mungkin memiliki peluang persis sama. Bila variabel acak XX memiliki nn nilai yang mungkin, masing-masing bernilai peluang 1n\frac{1}{n}. Tidak ada nilai istimewa โ€” itulah arti kata โ€œseragamโ€.

Distribusi seragam diskrit adalah distribusi peluang dengan nn nilai yang mungkin, masing-masing berpeluang P(X=xi)=1nP(X = x_i) = \frac{1}{n}. Syarat wajib: tiap peluang sama dan jumlahnya = 1.

Pada simulasi di atas, pelemparan dadu jujur menghasilkan distribusi seragam Xโˆˆ{1,2,3,4,5,6}X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} dengan tiap peluang 16\frac{1}{6}. Semakin banyak lemparan, histogram keenam sisi makin mendekati tinggi yang sama โ€” bukti empiris distribusi seragam.

Rumus peluang, rerata, dan ragam

Karena semua peluang sama, rumus distribusi seragam sangat ringkas. Peluang tiap nilai 1n\frac{1}{n}. Rerata (nilai harapan) berada di tengah rentang nilai, dan ragamnya mengukur seberapa tersebar nilai-nilai itu di sekitar rerata.

P(X=xi)=1n,ฮผ=x1+xn2,ฯƒ2=n2โˆ’112P(X = x_i) = \frac{1}{n}, \quad \mu = \frac{x_1 + x_n}{2}, \quad \sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}

Arti tiap simbol: nn = banyak nilai yang mungkin; ฮผ\mu = rerata = rata-rata nilai terkecil dan terbesar; ฯƒ2\sigma^2 = ragam. Catatan: rumus ragam ini berlaku bila nilai-nilai konsekutif (misalnya 1, 2, 3, โ€ฆ, nn).

Plot di bawah memperlihatkan distribusi seragam sebagai batang-batang sama tinggi. Tidak seperti distribusi dadu yang punya puncak, semua batang sama โ€” ciri khas seragam.

Pengaruh banyak nilai nn

Semakin banyak nilai yang mungkin dalam distribusi seragam, semakin kecil peluang tiap nilai, dan semakin besar sebarannya. Plot di bawah memperlihatkan distribusi seragam dengan nn nilai โ€” saat nn membesar, tiap peluang 1n\frac{1}{n} mengecil tetapi jumlahnya tetap 1.

Bayangkan undian bersama nn teman dengan pemenang dipilih adil secara acak. Peluangmu menang = 1n\frac{1}{n}, sama dengan teman-temanmu. Bila ada 10 teman, peluangmu 10%; bila ada 100, hanya 1%. Itulah distribusi seragam โ€” adil tapi makin sulit menang saat pesertanya banyak.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah dadu jujur berlabel 1 sampai 6. Tentukan peluang muncul angka 4, rerata, dan ragam dari distribusi seragam ini.

Distribusi seragam dengan n=6n = 6 nilai, masing-masing berpeluang P(X=4)=16P(X = 4) = \frac{1}{6}. Sama seperti peluang nilai lainnya โ€” tidak ada nilai istimewa.

Rerata ฮผ=x1+xn2=1+62=72=3,5\mu = \frac{x_1 + x_n}{2} = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5. Rerata berada tepat di tengah rentang nilai, ciri distribusi simetris seragam.

Ragam ฯƒ2=n2โˆ’112=36โˆ’112=3512โ‰ˆ2,92\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{36 - 1}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92. Ragam mengukur seberapa tersebar nilai-nilai dadu di sekitar rerata 3,5 โ€” cukup besar karena nilai-nilai terentang 1 sampai 6.

Latih kecepatan menghitung peluang satu nilai pada distribusi seragam berbeda di bawah.

Jebakan: menganggap ada nilai yang lebih mungkin dalam distribusi seragam. Yang benar: semua nilai berpeluang persis sama. Bila ada nilai yang lebih sering muncul, itu bukan distribusi seragam.

Jebakan: menggunakan rumus ragam ฯƒ2=n2โˆ’112\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12} untuk nilai-nilai yang tidak konsekutif. Yang benar: rumus itu berlaku bila nilai-nilai berurutan 1, 2, โ€ฆ, nn. Untuk nilai-nilai acak seperti {2,5,8}\{2, 5, 8\}, hitung ragam manual dari definisi โˆ‘pi(xiโˆ’ฮผ)2\sum p_i (x_i - \mu)^2.

  • Distribusi seragam diskrit: semua nilai berpeluang sama =1n= \frac{1}{n}.
  • Rerata ฮผ=x1+xn2\mu = \frac{x_1 + x_n}{2} (tengah rentang, bila konsekutif).
  • Ragam ฯƒ2=n2โˆ’112\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12} (untuk nilai 1, 2, โ€ฆ, nn).
  • Ciri visual: histogram batang sama tinggi, tanpa puncak.
  • Distribusi seragam adalah model peluang paling adil.