Sistem Pertidaksamaan: Irisan Daerah — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menentukan irisan daerah penyelesaian dari beberapa pertidaksamaan linear sekaligus.

Sebuah bengkel punya dua batasan: jam kerja mesin paling banyak 40 jam sehari, dan modal bahan baku paling banyak Rp100.000. Setiap produk memakan kedua sumber daya itu. Produk mana saja yang bisa dibuat tanpa melanggar salah satu batas? Titik yang memenuhi semua pertidaksamaan sekaligus itulah yang kamu cari. Coba lihat sendiri di bawah bagaimana dua setengah bidang beririsan menjadi satu daerah.

Geser slider $k_1$ dan $k_2$ , lalu perhatikan dua garis batas dan irisan daerah penyelesaiannya.

Irisan: semua kendala dipatuhi sekaligus

Sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan yang harus dipenuhi bersama-sama. Penyelesaian sistemnya bukan gabungan, melainkan irisan daerah penyelesaian tiap pertidaksamaan. Titik $(x, y)$ termasuk penyelesaian sistem hanya jika ia taat setiap pertidaksamaan anggota tanpa terkecuali.

Sistem pertidaksamaan linear adalah dua atau lebih pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi sekaligus. Himpunan penyelesaiannya adalah irisan daerah penyelesaian semua pertidaksamaan anggotanya.

Cara praktis: gambar dulu daerah penyelesaian tiap pertidaksamaan secara terpisah (lihat artikel sebelumnya tentang titik uji). Lalu cari wilayah yang diarsir oleh semua pertidaksamaan sekaligus. Wilayah itulah irisan — biasa disebut daerah layak, karena semua titik di dalamnya “layak” (memenuhi semua syarat).

Bentuk irisan: poligon tertutup

Bila setiap pertidaksamaan membatasi satu sisi, irisan mereka kerap membentuk poligon tertutup — daerah berbentuk segi banyak yang sisi-sisinya adalah potongan garis batas. Titik sudut poligon ini, disebut titik pojok, adalah perpotongan dua garis batas berdekatan. Titik pojok kelak jadi kunci saat kamu menghitung nilai optimum di artikel program linear.

Seret titik sudut poligon di bawah — daerah layak berubah bentuk, tetapi tetap berupa poligon yang semua titik sudutnya adalah perpotongan dua garis batas.

Bayangkan tiap pertidaksamaan sebagai pagar pembatas satu sisi kebun. Daerah layak adalah area kebun yang tidak menerobos pagar mana pun — wilayah aman di tengah yang dibatasi semua pagar sekaligus. Bila satu pagar terlalu sempit, daerah aman mengecil; bila dua pagar berhimpitan, daerah aman bisa sirna.

Menguji titik pada sistem

Untuk memastikan sebuah titik benar-benar di daerah layak, substitusikan koordinatnya ke setiap pertidaksamaan. Bila semua pernyataan benar, titik itu layak; cukup satu pernyataan salah, titik keluar daerah. Inilah cek mutlak yang tak tergantikan oleh sekadar melihat gambar.

Geser slider titik uji $(u, v)$ di bawah dan amati tiga indikator: semua hijau (positif) berarti titik layak di sistem, satu merah (negatif) berarti melanggar satu kendala sehingga keluar daerah.

Tiga kendala atau lebih

Sistem nyata kerap punya tiga, empat, atau lebih pertidaksamaan. Prinsipnya tetap sama: gambar semua daerah penyelesaian, lalu iris. Makin banyak kendala, makin sempit daerah layak — bahkan bisa kosong bila dua kendala bertentangan (misalnya $x \ge 5$ sekaligus $x \le 2$ ). Daerah layak kosong berarti tidak ada solusi yang memenuhi semua syarat.

Geser slider di bawah untuk mengubah ketiga batas dan amati bagaimana irisan menyempit atau melebar.

Soal sistem pertidaksamaan linear adalah pintu masuk program linear di TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif: kamu diminta menggambar daerah layak dari kendala produksi atau diet, lalu membaca titik pojoknya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aljabar dan fungsi pada jalur Matematika wajib elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan daerah layak dari sistem $\begin{cases} x + y \le 6 \\ x + 2y \le 8 \\ x \ge 0, \; y \ge 0 \end{cases}$ .

Untuk $x + y = 6$ : titik potong $(0, 6)$ dan $(6, 0)$ . Untuk $x + 2y = 8$ : titik potong $(0, 4)$ dan $(8, 0)$ . Kedua garis digambar utuh karena tandanya $\le$ . Sumbu $x = 0$ dan $y = 0$ membatasi kuadran pertama.

Pakai titik uji $(1, 1)$ . Untuk $x + y \le 6$ : $1 + 1 = 2 \le 6$ benar, arsir sisi bawah-kiri. Untuk $x + 2y \le 8$ : $1 + 2 = 3 \le 8$ benar, arsir sisi bawah-kiri juga. $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ membatasi daerah ke kuadran pertama.

Irisan ketiganya di kuadran pertama membentuk poligon tertutup dengan titik pojok $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , perpotongan kedua garis, dan $(0, 4)$ . Untuk mencari perpotongan: substitusi $x = 6 - y$ ke $x + 2y = 8$ sehingga $6 - y + 2y = 8$ , maka $y = 2$ dan $x = 4$ . Titik pojoknya $(0,0)$ , $(6,0)$ , $(4,2)$ , $(0,4)$ .

Sekarang uji pemahamanmu dengan tiga butir di bawah — kerjakan dulu di kertas sebelum membuka pembahasan.

Jebakan: menggabungkan (bukan mengiris) daerah penyelesaian tiap pertidaksamaan. Yang benar: penyelesaian sistem adalah irisan, bukan gabungan. Titik harus memenuhi semua pertidaksamaan, bukan sekadar salah satunya.

Jebakan: menganggap daerah layak selalu ada. Yang benar: dua pertidaksamaan yang bertentangan (misalnya $x \ge 5$ dan $x \le 2$ ) menghasilkan daerah layak kosong — tidak ada solusi yang memenuhi semua syarat.

Sistem pertidaksamaan linear harus dipenuhi bersama-sama; penyelesaiannya adalah irisan.
Gambar tiap daerah penyelesaian, lalu cari wilayah yang diarsir semua pertidaksamaan.
Irisan kerap berbentuk poligon tertutup yang disebut daerah layak.
Titik pojok poligon adalah perpotongan dua garis batas — kunci untuk mencari nilai optimum.
Daerah layak bisa kosong bila ada pertidaksamaan yang bertentangan.