Pertidaksamaan Linear Dua Variabel & Daerahnya — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menggambar garis batas pertidaksamaan linear dua variabel dan menentukan daerah penyelesaiannya dengan titik uji.

Anggaran belanjamu tidak boleh melebihi Rp20.000 sehari. Kalau satu roti Rp4.000 dan satu teh Rp2.000, kombinasinya tidak boleh melanggar aturan itu. Hubungan seperti ini bukan persamaan yang harus sama persis, melainkan pertidaksamaan yang boleh lebih kecil atau lebih besar. Pertanyaannya: titik mana saja di bidang yang taat aturan? Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $a$ , $b$ , dan $c$ , lalu perhatikan garis batas dan daerah yang taat pertidaksamaan berubah.

Dari persamaan ke pertidaksamaan

Pertidaksamaan linear dua variabel berbentuk $ax + by \le c$ atau $ax + by \ge c$ , dengan $a$ , $b$ tidak nol sekaligus. Beda dengan persamaan $ax + by = c$ yang penyelesaiannya satu garis, pertidaksamaan punya begitu banyak penyelesaian sehingga membentuk setengah bidang. Garis $ax + by = c$ menjadi pembatas antara dua setengah bidang itu.

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka berbentuk $ax + by < c$ , $ax + by > c$ , $ax + by \le c$ , atau $ax + by \ge c$ . Himpunan penyelesaiannya berupa sebuah setengah bidang pada koordinat Cartesius.

Garis pembatas itu disebut garis batas. Tanda $\le$ atau $\ge$ berarti titik pada garis ikut penyelesaian, jadi garis digambar utuh. Tanda $<$ atau $>$ berarti titik pada garis tidak ikut, jadi garis digambar putus-putus.

$ax + by \;(\le, \ge, <, >)\; c$

Arti tiap simbol: $a$ , $b$ koefisien variabel ( $a$ , $b$ tak nol sekaligus), $x$ , $y$ variabel, $c$ konstanta ruas kanan; tanda pembanding menentukan apakah garis batas termasuk penyelesaian.

Menentukan sisi dengan titik uji

Garis batas membelah bidang menjadi dua sisi, tapi sisi manakah yang taat pertidaksamaan? Triknya: ambil satu titik sembarang yang tidak terletak pada garis batas, lalu substitusikan koordinatnya ke pertidaksamaan. Bila pernyataan menjadi benar, titik itu — dan seluruh sisi tempatnya berada — adalah daerah penyelesaian. Bila salah, ambil sisi sebaliknya.

Titik $(0, 0)$ sering jadi pilihan termudah karena menghitungnya sepele. Tapi kalau garis batas lewat titik asal, pilih titik uji lain seperti $(1, 1)$ atau $(0, 1)$ .

Geser titik uji di bawah ke mana pun di bidang — indikatornya akan menyala hijau (positif) saat titik taat pertidaksamaan, merah (negatif) saat melanggar.

Bayangkan garis batas itu pagar pembatas kebun. Titik uji seperti kamu melempar batu kecil ke salah satu sisi: kalau batu mendarat di area yang taat aturan, seluruh area itu milikmu. Tidak perlu memeriksa setiap titik satu per satu — satu titik cukup mewakili seluruh sisi.

Mengarsir daerah penyelesaian

Setelah sisi yang benar teridentifikasi, arsir seluruh setengah bidang itu. Itulah daerah penyelesaian: kumpulan semua titik $(x, y)$ yang membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan benar. Daerah inilah yang nanti kamu cari irisannya saat berhadapan dengan sistem pertidaksamaan.

Geser slider di bawah untuk membentuk pertidaksamaan baru, lalu amati arsiran setengah bidang yang taat mengikuti perubahan garis batas.

Soal pertidaksamaan linear dua variabel rutin muncul di TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif, biasanya berbentuk soal cerita anggaran atau batasan produksi yang meminta kamu menyusun pertidaksamaan lalu menentukan daerah penyelesaiannya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aljabar dan fungsi pada jalur Matematika wajib elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $2x + 3y \le 12$ .

Karena tandanya $\le$ , garis batas digambar utuh. Ubah dulu ke persamaan $2x + 3y = 12$ , lalu cari titik potong: saat $x = 0$ maka $y = 4$ (titik $(0, 4)$ ); saat $y = 0$ maka $x = 6$ (titik $(6, 0)$ ). Hubungkan kedua titik dengan garis utuh.

Garis tidak lewat titik asal $(0, 0)$ karena $2(0) + 3(0) = 0 \ne 12$ , jadi pilih $(0, 0)$ sebagai titik uji.

Substitusi: $2(0) + 3(0) = 0 \le 12$ — pernyataan benar. Jadi titik $(0, 0)$ termasuk penyelesaian, dan seluruh setengah bidang yang memuatnya (sisi bawah-kiri garis batas) adalah daerah penyelesaian. Arsir sisi itu.

Latihan berikut mengacak koefisien pertidaksamaan. Hitung dulu di kertas apakah titik uji yang diberikan taat, lalu ketik jawabannya dan tekan Soal baru.

Jebakan: menggambar garis batas utuh pada pertidaksamaan bertanda $<$ atau $>$ . Yang benar: tanda ketat (tanpa sama dengan) berarti garis batas tidak ikut penyelesaian, jadi digambar putus-putus. Hanya $\le$ dan $\ge$ yang pakai garis utuh.

Jebakan: memilih titik uji yang terletak persis pada garis batas. Yang benar: pilih titik di luar garis batas — substitusinya tidak akan menghasilkan ketidakpastian. Jika ragu, geser sedikit titik ujimu atau pakai titik lain.

Pertidaksamaan linear dua variabel $ax + by \;(\le, \ge, <, >)\; c$ punya penyelesaian berupa setengah bidang.
Garis batas $ax + by = c$ utuh untuk $\le$ dan $\ge$ ; putus untuk $<$ dan $>$ .
Tentukan sisi penyelesaian dengan substitusi satu titik uji di luar garis batas.
Daerah yang taat pertidaksamaan diarsir — itulah daerah penyelesaian.
Titik $(0,0)$ jadi pilihan termudah selama garis batas tidak melewatinya.