Fungsi Linear & Makna Gradien — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa membaca gradien dan titik potong garis sebagai laju perubahan dan nilai awal.

Pernah memesan ojek daring lalu penasaran kenapa dua aplikasi memasang harga berbeda untuk jarak yang sama? Jawabannya ada di dua angka: biaya awal yang muncul sebelum kamu jalan, dan tarif yang ditambahkan tiap kilometer. Dua angka itu persis gradien dan titik potong sebuah garis. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider m dan c, lalu perhatikan bagaimana garis dan titik-titiknya berpindah.

Gradien: seberapa cepat garis naik

Fungsi linear selalu berbentuk garis lurus. Yang membedakan satu garis dari garis lain cuma dua hal: seberapa miring garisnya, dan dari mana ia mulai. Angka yang mengatur kemiringan disebut gradien, biasa dilambangkan $m$ .

Gradien menjawab satu pertanyaan sederhana: kalau $x$ bertambah satu langkah, $y$ naik berapa? Pada garis biaya ojek tadi, gradien adalah tarif per kilometer. Tiap 1 km jaraknya bertambah, biayanya naik sebesar $m$ .

Coba rasakan sendiri: geser slider $m$ , lalu perhatikan ketiga titik pada garis — tiap geser satu langkah ke kanan, naiknya selalu sebesar $m$ .

Gradien adalah ukuran kemiringan garis: berapa banyak $y$ berubah untuk setiap penambahan satu satuan pada $x$ .

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Arti tiap simbol: $m$ = gradien, $\Delta y$ = perubahan nilai $y$ (naik atau turun), $\Delta x$ = perubahan $x$ ke kanan.

Rumus itu gampang dilihat sebagai segitiga: seret ujung panah di bawah, lalu baca komponen mendatarnya ( $\Delta x$ ) dan komponen tegaknya ( $\Delta y$ ) — gradien tinggal hasil bagi keduanya.

Bayangkan kamu menaiki tangga. Gradien itu seperti tinggi tiap anak tangga: makin tinggi tiap anak tangga, makin curam tangganya. Garis yang datar berarti gradien nol — kamu berjalan lurus tanpa naik sama sekali.

Titik potong: dari mana garis mulai

Angka kedua adalah titik potong sumbu-y, dilambangkan $c$ . Inilah nilai $y$ saat $x = 0$ , yaitu titik tempat garis memotong sumbu tegak. Pada konteks ojek, $c$ adalah biaya awal: tarif yang sudah tercatat bahkan sebelum motor bergerak sedikit pun.

$y = mx + c$

Arti tiap simbol: $y$ = nilai akhir, $m$ = gradien (laju perubahan), $x$ = variabel bebas, $c$ = titik potong sumbu-y (nilai awal saat $x = 0$ ).

Dengan dua angka ini kamu bisa membaca cerita di balik garis mana pun. Nilai $c$ memberi tahu titik berangkatnya; nilai $m$ memberi tahu seberapa cepat nilainya berubah.

Sekarang kunci perhatianmu ke $c$ saja: geser slider di bawah dan lihat garis naik-turun sejajar — kemiringannya tidak pernah berubah.

Naik, turun, atau datar

Tanda gradien menentukan arah garis. Bagian ini yang paling sering tertukar, jadi perhatikan baik-baik.

Nilai gradien	Arah garis	Contoh nyata
$m > 0$	Naik ke kanan	Biaya ojek: makin jauh, makin mahal
$m < 0$	Turun ke kanan	Sisa saldo: makin sering dipakai, makin sedikit
$m = 0$	Datar	Biaya tetap berapa pun jaraknya

Buktikan sendiri tiga kasus di tabel: tekan tombolnya, atau geser slider $m$ pelan-pelan melewati nol dan tangkap momen garisnya berbalik arah.

Di TKA dan UTBK, fungsi linear sering muncul sebagai soal cerita: kamu diminta menyusun $y = mx + c$ dari situasi nyata, lalu membaca makna $m$ atau $c$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aljabar dan fungsi sebagai cakupan resmi. Jebakan yang paling sering muncul: tertukar mana tarif per satuan (gradien) dan mana biaya tetap (titik potong).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah ojek daring memasang biaya awal Rp8.000 dan tarif Rp3.000 per kilometer. Tulis fungsi biayanya, lalu hitung biaya perjalanan 6 km dan jelaskan makna gradiennya. Supaya angkanya ringkas, pakai satuan ribu rupiah, jadi Rp8.000 kita tulis 8.

Biaya awal muncul saat jarak masih 0 km, jadi itu titik potong: $c = 8$ . Tarif per kilometer adalah tambahan biaya untuk tiap 1 km, jadi itu gradien: $m = 3$ .

Masukkan $m$ dan $c$ ke bentuk $y = mx + c$ . Fungsinya menjadi $y = 3x + 8$ , dengan $x$ = jarak dalam km dan $y$ = biaya dalam ribu rupiah.

Ganti $x$ dengan 6, lalu hitung: $y = 3(6) + 8 = 18 + 8 = 26$ . Karena satuannya ribu rupiah, biaya perjalanan 6 km adalah Rp26.000.

Gradien $m = 3$ berarti tiap jarak bertambah 1 km, biaya naik 3 ribu rupiah. Itulah tarif per kilometernya, sedangkan $c = 8$ tetap sebagai biaya awal.

Cocokkan jawabanmu di grafik: geser slider jarak ke 6 km dan baca biayanya — harus ketemu 26.

Jebakan: mengira angka $c$ (biaya awal) adalah gradiennya. Yang benar: gradien adalah $m$ , angka yang menempel di depan $x$ ; sedangkan $c$ hanyalah nilai awal saat $x = 0$ .

Jebakan: mengira gradien negatif berarti garis berada di bawah sumbu-x. Yang benar: gradien negatif berarti garis menurun dari kiri ke kanan — itu soal arah, bukan soal letaknya di atas atau di bawah sumbu.

Fungsi linear $y = mx + c$ selalu berupa garis lurus dengan dua angka penentu.
Gradien $m$ adalah laju perubahan: $y$ naik berapa tiap $x$ bertambah satu.
Titik potong $c$ adalah nilai awal, yaitu $y$ saat $x = 0$ .
Gradien positif garis naik, negatif turun, dan nol datar.
Di tarif ojek: $c$ adalah biaya awal, $m$ adalah tarif per kilometer.