Program Linear: Menyusun Kendala & Fungsi Tujuan — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa memodelkan masalah produksi sederhana menjadi kendala pertidaksamaan dan fungsi tujuan linear.

Sebuah warung roti membuat dua jenis roti: roti A butuh 2 gelas tepung dan 1 bungkus mentega, roti B butuh 1 gelas tepung dan 2 bungkus mentega. Tersedia 8 gelas tepung dan 10 bungkus mentega. Roti mana yang harus dibuat agar laba maksimal? Untuk menjawabnya kamu harus menerjemahkan cerita ini menjadi dua hal: kendala yang membatasi, dan fungsi tujuan yang ingin dioptimumkan. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $p$ (jumlah roti A) dan $q$ (jumlah roti B), lalu perhatikan batas tepung dan mentega serta nilainya.

Dua unsur model program linear

Setiap soal program linear punya dua unsur wajib yang harus kamu susun dari cerita. Pertama, kendala: batasan sumber daya yang dinyatakan sebagai sistem pertidaksamaan linear. Kedua, fungsi tujuan: besaran yang ingin kamu maksimumkan (laba, hasil) atau minimumkan (biaya, waktu) yang dinyatakan sebagai fungsi linear.

Kendala adalah sistem pertidaksamaan linear yang menyatakan batasan sumber daya dalam soal. Fungsi tujuan adalah fungsi linear $f(x, y) = ax + by$ yang nilainya ingin dimaksimumkan atau diminimumkan.

Variabel $x$ dan $y$ biasanya menyatakan jumlah barang yang diproduksi, sehingga selalu tak negatif ( $x \ge 0$ , $y \ge 0$ ) — ini pun termasuk kendala, sering disebut kendala non-negatif.

Menerjemahkan cerita jadi kendala

Strategi menerjemahkan: identifikasi dulu sumber daya apa yang terbatas (tepung, mentega, waktu, modal). Untuk tiap sumber daya, tulis pertidaksamaan: “total sumber daya yang dipakai $\le$ sumber daya tersedia”. Misalnya roti A pakai 2 gelas tepung dan roti B pakai 1 gelas, total tersedia 8 gelas, maka kendala tepungnya $2x + y \le 8$ .

$\begin{cases} 2x + y \le 8 & \text{(kendala tepung)} \\ x + 2y \le 10 & \text{(kendala mentega)} \\ x \ge 0,\; y \ge 0 & \text{(kendala non-negatif)} \end{cases}$

Arti tiap simbol: $x$ = banyak roti A, $y$ = banyak roti B; koefisien 2, 1, 1, 2 menyatakan pemakaian sumber daya per unit; 8 dan 10 adalah ketersediaan sumber daya.

Geser slider di bawah untuk mengubah ketersediaan sumber daya, dan amati garis batas kendala bergeser — daerah layak mengikuti.

Bayangkan tiap sumber daya sebagai ember berukuran terbatas. Membuat satu roti A menuangkan 2 gelas dari ember tepung dan 1 bungkus dari ember mentega. Kendala hanya berkata: “yang kamu tuang tidak boleh melebihi isi ember”. Daerah layak adalah kombinasi produksi yang tidak membuat salah satu ember meluap.

Menyusun fungsi tujuan

Setelah kendala siap, susun fungsi tujuan dari informasi laba atau biaya per unit. Bila roti A memberi laba Rp3.000 per buah dan roti B Rp5.000, maka fungsi tujuannya $f(x, y) = 3x + 5y$ (dalam ribu rupiah). Tujuan soal: cari nilai $x$ , $y$ di daerah layak yang membuat $f$ maksimum.

Geser slider di bawah dan amati bagaimana nilai fungsi tujuan berubah saat titik produksi berpindah di dalam daerah layak.

Soal program linear adalah andalan TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif: soal cerita produksi atau diet yang meminta kamu menyusun model (kendala + fungsi tujuan) lalu mencari nilai optimum. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aljabar dan fungsi pada jalur Matematika wajib elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Seorang tukang kayu membuat meja (butuh 4 jam) dan kursi (butuh 2 jam). Tersedia 20 jam kerja. Meja dijual laba Rp50.000, kursi Rp30.000. Susun model program linear untuk memaksimumkan laba.

Misal $x$ = banyak meja, $y$ = banyak kursi. Keduanya tak negatif, jadi ada kendala non-negatif $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ .

Total jam kerja yang dipakai: $4x + 2y$ . Tersedia 20 jam, jadi kendala jam kerjanya $4x + 2y \le 20$ . Inilah sistem kendala lengkap: $\begin{cases} 4x + 2y \le 20 \\ x \ge 0, \; y \ge 0 \end{cases}$ .

Laba dari meja Rp50.000 per buah, dari kursi Rp30.000 per buah. Fungsi tujuannya $f(x, y) = 50x + 30y$ (dalam ribu rupiah), ingin dimaksimumkan. Model lengkap: kendala + fungsi tujuan $f$ .

Latihan berikut mengacak harga jual dan jumlah produksi. Hitung dulu di kertas, ketik nilai labanya, lalu tekan Soal baru.

Jebakan: menulis kendala dengan arah salah, misalnya $2x + y \ge 8$ untuk batasan persediaan. Yang benar: sumber daya yang terbatas memakai tanda $\le$ — yang dipakai tidak boleh melebihi yang tersedia. Tanda $\ge$ hanya untuk syarat “minimal” (misalnya nutrisi minimum dalam soal diet).

Jebakan: lupa mencantumkan kendala non-negatif $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ . Yang benar: jumlah produksi tak pernah negatif, jadi kedua pertidaksamaan ini wajib masuk model — tanpanya daerah layak meluas ke kuadran negatif yang tidak bermakna.

Program linear punya dua unsur wajib: kendala (sistem pertidaksamaan) dan fungsi tujuan (linear).
Kendala diterjemahkan dari batasan sumber daya: “yang dipakai $\le$ yang tersedia”.
Fungsi tujuan $f(x, y) = ax + by$ menyatakan laba (maksimum) atau biaya (minimum).
Selalu sertakan kendala non-negatif $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ .
Variabel $x$ , $y$ biasanya menyatakan jumlah barang yang diproduksi.