Nilai Optimum di Titik Pojok — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menemukan nilai optimum fungsi tujuan dengan menguji nilai di tiap titik pojok daerah layak.

Pernah memikirkan kenapa di kelas ujian, tempat duduk pojok sering jadi favorit? Di program linear, titik pojok juga tempat istimewa: nilai laba terbesar atau biaya terkecil selalu tercapai di salah satu titik pojok daerah layak. Kamu tidak perlu memeriksa semua titik — cukup beberapa titik sudut. Coba geser garis selidik di bawah dan tangkap momen ia “menyentuh” pojok tertinggi.

Geser slider $L$ (nilai laba), lalu perhatikan garis selidik bergerak sejajar dan menyentuh titik pojok.

Teorema titik pojok

Inilah inti program linear: bila daerah layak berbentuk poligon tertutup, maka nilai maksimum dan minimum fungsi tujuan selalu tercapai di salah satu titik pojok daerah layak. Kenapa? Karena fungsi tujuan linear hanya berubah arah konstan di sepanjang garis, dan garis selidik terakhir yang masih menyentuh poligon pasti menyinggung di sebuah titik sudut.

Titik pojok adalah titik sudut poligon daerah layak, yaitu perpotongan dua garis batas berdekatan. Teorema titik pojok menyatakan bahwa nilai optimum (maksimum atau minimum) fungsi tujuan linear tercapai di salah satu titik pojok.

Konsekuensinya powerful: kamu tidak perlu memeriksa tak berhingga titik di daerah layak. Cukup identifikasi semua titik pojok (biasanya 3–5 buah), hitung nilai fungsi tujuan di tiap pojok, lalu pilih yang terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum).

Mengidentifikasi titik pojok

Setiap titik pojok adalah perpotongan dua garis batas. Untuk menemukannya, ambil sepasang garis batas, jadikan persamaan, lalu selesaikan sistemnya. Banyaknya titik pojok calon = banyaknya pasangan garis batas. Beberapa perpotongan mungkin jatuh di luar daerah layak — titik itu bukan pojok sejati dan harus dibuang.

$\text{titik pojok} = \text{perpotongan dua garis batas yang terletak di daerah layak}$

Arti: ambil dua persamaan batas, selesaikan sebagai sistem persamaan linear dua variabel; solusinya adalah kandidat pojok. Bila koordinatnya memenuhi semua kendala, ia pojok sejati.

Geser slider di bawah untuk mengubah kendala, lalu amati bagaimana keempat titik pojok berpindah mengikuti pergeseran garis batas.

Bayangkan daerah layak sebagai lantai berbentuk poligon, dan garis selidik sebagai kawat lurus yang kamu geser sejajar. Kawat itu menunjukkan semua titik dengan laba yang sama. Geser kawat menjauhi titik asal — laba membesar. Pada akhirnya kawat hanya akan menyentuh lantai di satu titik terakhir sebelum lepas: titik itulah pojok dengan laba maksimum.

Menggeser garis selidik ke optimum

Cara visual mencari optimum: gambar garis selidik $ax + by = L$ untuk berbagai nilai $L$ . Garis-garis ini sejajar semua. Untuk memaksimumkan, geser garis selidik ke arah yang membuat $L$ membesar, sejauh mungkin selama masih menyentuh daerah layak. Garis terakhir yang menyentuh daerah layak pasti menyinggung sebuah titik pojok — itulah optimumnya.

Geser slider $L$ di bawah dan amati: saat $L$ kecil garis selidik memotong daerah layak di banyak titik, tapi makin besar $L$ makin sedikit yang tersisa, sampai akhirnya hanya satu pojok tersisa.

Soal mencari laba maksimum atau biaya minimum adalah bentuk paling sering muncul di TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif: kamu diminta menggambar daerah layak, lalu menguji nilai fungsi tujuan di tiap pojok. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aljabar dan fungsi pada jalur Matematika wajib elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Daerah layak memiliki titik pojok $(0, 0)$ , $(4, 0)$ , $(2, 4)$ , dan $(0, 5)$ . Fungsi tujuan $f(x, y) = 3x + 5y$ (dalam ribu rupiah). Berapa laba maksimum dan di pojok mana tercapai?

Substitusi setiap pojok ke $f(x, y) = 3x + 5y$ . Pojok $(0, 0)$ : $f = 3(0) + 5(0) = 0$ . Pojok $(4, 0)$ : $f = 3(4) + 5(0) = 12$ . Pojok $(2, 4)$ : $f = 3(2) + 5(4) = 6 + 20 = 26$ . Pojok $(0, 5)$ : $f = 3(0) + 5(5) = 25$ .

Nilai $f$ di empat pojok: $0$ , $12$ , $26$ , $25$ . Yang terbesar adalah $26$ .

Laba maksimum adalah $26$ ribu rupiah, tercapai saat produksi $x = 2$ (roti A) dan $y = 4$ (roti B). Jadi strategi terbaik: buat 2 roti A dan 4 roti B.

Latihan berikut mengacak koefisien fungsi tujuan dan koordinat pojok. Hitung dulu di kertas, ketik nilai $f$ di pojok yang ditanya, lalu tekan Soal baru.

Jebakan: menguji nilai $f$ hanya di sebagian pojok lalu mengambil yang terbesar. Yang benar: hitung $f$ di semua titik pojok, baru bandingkan — boleh jadi pojok yang kamu lewatkan justru yang memegang maksimum.

Jebakan: mengira nilai optimum tercapai di tengah sisi atau pusat daerah layak. Yang benar: fungsi tujuan linear mencapai optimum hanya di titik pojok, karena perubahan nilai sepanjang sisi selalu konstan menuju pojok yang lebih besar.

Nilai optimum (maksimum/minimum) fungsi tujuan linear tercapai di titik pojok daerah layak.
Titik pojok = perpotongan dua garis batas yang terletak di daerah layak.
Cara: hitung $f$ di setiap pojok, lalu pilih yang terbesar (maks) atau terkecil (min).
Garis selidik $ax + by = L$ digeser sejajar; garis terakhir yang menyentuh daerah layak menyinggung pojok optimum.
Selalu periksa semua pojok — jangan hanya sebagian.