Matriks: Tabel Angka yang Bekerja — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membaca notasi matriks, menyebut ordo dan elemennya, mengenali jenis-jenis matriks, serta menentukan transposnya.

Catatan nilai ujian, daftar harga kantin, jadwal kereta — semuanya tabel angka. Saat kamu menulis tabel angka dalam kurung siku dan memperlakukannya sebagai satu kesatuan, ia berubah jadi matriks: objek yang bisa dijumlahkan, dikalikan, bahkan dibalik. Dengan matriks, masalah berdimensi banyak jadi ringkas. Coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik sudut grid matriks untuk mengubah banyak baris dan kolom, lalu amati ordonya berubah.

Apa itu matriks

Sebuah matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang, dibungkus dalam tanda kurung, diatur menurut baris (mendatar) dan kolom (tegak). Umumnya ditulis dengan huruf kapital besar seperti $A, B, M$ .

Ordo matriks ditulis $m \times n$ , dengan $m$ banyak baris dan $n$ banyak kolom. Matriks $2 \times 3$ berarti 2 baris dan 3 kolom, total 6 elemen.

Tiap entri matriks disebut elemen, dilambangkan $a_{ij}$ : baris ke- $i$ , kolom ke- $j$ . Pada matriks $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix},$ elemen $a_{12} = -1$ (baris 1, kolom 2) dan $a_{23} = 5$ (baris 2, kolom 3). Cara membaca indeks selalu baris dulu, kolom kemudian — seperti koordinat $(i, j)$ pada peta.

Mengapa urutan baris-kolom begitu penting? Karena seluruh operasi matriks (penjumlahan, perkalian, determinan) berpijak pada posisi ini. Tertukar indeks berarti tertukar elemen yang dimaksud; di soal TKA, ini sumber kesalahan paling sering.

Mengenali jenis-jenis matriks

Berdasarkan bentuknya, beberapa matriks istimewa sering muncul:

Jenis	Ciri	Contoh
Matriks baris	Satu baris, $1 \times n$	$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 \end{bmatrix}$
Matriks kolom	Satu kolom, $m \times 1$	$\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$
Matriks persegi	$m = n$	$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
Matriks nol	Semua elemen 0	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
Matriks identitas	Persegi, diagonal 1, lainnya 0	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Matriks persegi istimewa karena hanya padanya konsep diagonal, determinan, dan invers berlaku. Matriks identitas berperan seperti angka 1 pada bilangan: $AI = A$ untuk sembarang $A$ yang sesuai. Matriks nol berperan seperti angka 0: $A + 0 = A$ .

Pikirkan matriks persegi sebagai “buku kotak kontak” yang simetris: banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, sehingga diagonal dari kiri-atas ke kanan-bawah terbaca sebagai “nomor utama”. Inilah mengapa banyak operasi penting hanya terdefinisi pada matriks persegi.

Transpos matriks

Transpos matriks $A$ , ditulis $A^T$ , adalah matriks yang baris dan kolomnya dipertukarkan. Baris ke- $i$ pada $A$ menjadi kolom ke- $i$ pada $A^T$ , dan sebaliknya. Akibatnya, ordo $A^T$ adalah kebalikan ordo $A$ : kalau $A$ berordo $2 \times 3$ , maka $A^T$ berordo $3 \times 2$ .

Sebagai contoh, untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}.$

Satu sifat menyenangkan: transpos matriks persegi tetap berordo sama, tetapi seluruh elemennya tercermin terhadap diagonal utama. Jika $A = A^T$ , matriks itu disebut simetris — ciri yang sering muncul di soal TKA.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memberi sebuah matriks lalu menanyakan ordo, elemen tertentu $a_{ij}$ , atau transposnya. Trik cepat: identifikasi dulu banyak baris (hitung mendatar) dan banyak kolom (hitung tegak); untuk transpos, cukup bayangkan memutar kertas searah diagonal dari kiri-atas ke kanan-bawah. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan matriks berordo sampai $3 \times 3$ sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $M = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ . Sebutkan ordonya, nilai $m_{23}$ , lalu tentukan $M^T$ .

Matriks $M$ memiliki 2 baris (mendatar) dan 3 kolom (tegak). Jadi ordonya $2 \times 3$ .

Indeks $m_{23}$ berarti baris ke-2, kolom ke-3. Pada baris kedua $[3, 4, 5]$ , kolom ketiga adalah $5$ . Jadi $m_{23} = 5$ .

Transposnya menukar baris jadi kolom. Baris pertama $[2, -1, 0]$ menjadi kolom pertama; baris kedua $[3, 4, 5]$ menjadi kolom kedua. Hasilnya $M^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ , berordo $3 \times 2$ .

Latih kecepatan membaca elemen matriks dengan indeks acak di bawah.

Jebakan: membaca indeks $a_{ij}$ sebagai kolom dulu, baris kemudian. Yang benar: $a_{ij}$ berarti baris ke- $i$ , kolom ke- $j$ — baris selalu ditulis lebih dulu, persis seperti koordinat $(i, j)$ .

Jebakan: menyamakan ordo transpos dengan ordo aslinya. Yang benar: transpos mempertukarkan baris dan kolom, sehingga matriks $m \times n$ bertranspos menjadi $n \times m$ . Hanya matriks persegi yang ordonya tak berubah setelah transpos.

Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom, dibungkus kurung.
Ordo $m \times n$ : $m$ baris, $n$ kolom; elemen $a_{ij}$ dibaca baris ke- $i$ , kolom ke- $j$ .
Jenis istimewa: baris, kolom, persegi, nol, dan identitas.
Matriks persegi menjadi panggung operasi diagonal, determinan, dan invers.
Transpos $A^T$ menukar baris jadi kolom; ordo ikut terbalik.