Penjumlahan & Perkalian Skalar Matriks — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjumlahkan dua matriks seordo dan mengalikan matriks dengan sebuah skalar dengan benar.

Dua cabang toko roti melaporkan stok mereka: berapa total roti cokelat, keju, dan kacang bila digabung? Ternyata jawabannya persis seperti menjumlahkan dua matriks — elemen demi elemen. Dan kalau kamu ingin melipatgandakan seluruh stok untuk persiapan hari raya, itu sama dengan mengalikan matriks dengan skalar. Coba lihat sendiri di bawah.

Berlatihlah menjumlahkan dua matriks pada soal ber-parameter; tekan “Soal baru” untuk mengganti angka.

Syarat sebelum menjumlahkan

Penjumlahan matriks hanya bisa dilakukan bila kedua matriks seordo: jumlah baris dan kolomnya sama. Alasannya sederhana — kamu menjumlahkan elemen yang posisinya sama, jadi bila ordo berbeda, akan ada elemen yang tidak punya pasangan.

Jumlah dua matriks seordo $m \times n$ didefinisikan sebagai $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ untuk setiap posisi $(i, j)$ . Hasilnya juga berordo $m \times n$ .

Sebagai contoh, $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}.$ Kamu menjumlahkan baris-atas dengan baris-atas, kolom-kiri dengan kolom-kiri, begitu seterusnya. Tidak ada “perpotongan” antarbaris seperti pada perkalian matriks.

Sifat penjumlahan matriks meniru sifat penjumlahan bilangan: komutatif ( $A + B = B + A$ ) dan asosiatif ( $(A + B) + C = A + (B + C)$ ). Ada pula matriks nol yang berperan sebagai elemen identitas: $A + 0 = A$ .

Pikirkan dua matriks seordo sebagai dua tabel berukuran sama. Menjumlahkannya seperti menumpuk kedua tabel dan menjumlahkan setiap sel yang berimpit — tak ada sel yang ditinggal, tak ada sel yang diacak pasangannya.

Perkalian skalar matriks

Perkalian matriks dengan sebuah bilangan real $k$ (disebut skalar) dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan $k$ . Hasilnya berordo sama dengan matriks asal.

$(k \cdot A)_{ij} = k \cdot a_{ij}$

Arti tiap simbol: $k$ = skalar (bilangan real); $a_{ij}$ = elemen matriks $A$ pada baris $i$ , kolom $j$ . Hasil $k \cdot A$ berordo sama dengan $A$ .

Sebagai contoh, $3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$ . Perhatikan: skalar “menyebar” ke setiap elemen, bukan dikalikan dengan matriks sebagai satu kesatuan. Ini berbeda dari perkalian antarmatriks yang akan kamu pelajari di artikel lanjutan.

Sifat perkalian skalar: (i) distributif terhadap penjumlahan matriks, $k(A + B) = kA + kB$ ; (ii) distributif terhadap penjumlahan skalar, $(k + l)A = kA + lA$ ; (iii) asosiatif terhadap perkalian skalar, $k(lA) = (kl)A$ . Sifat-sifat ini memudahkan kamu menyederhanakan ekspresi matriks yang rumit.

Menggabungkan kedua operasi

Sering kali kamu menjumpai ekspresi seperti $2A + 3B$ atau $A - B$ (yang berarti $A + (-1)B$ ). Kerjakanlah bertahap: hitung dulu perkalian skalar, lalu jumlahkan hasilnya.

Sebagai contoh, untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix},$ hitung $2A - B$ : $2A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}, \quad 2A - B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}.$

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memberi ekspresi campuran seperti $3A - 2B$ lalu menanyakan satu elemen hasilnya. Trik cepat: kamu tidak perlu menghitung seluruh matriks — cukup hitung satu elemen yang ditanya dengan rumus $(kA + lB)_{ij} = k \cdot a_{ij} + l \cdot b_{ij}$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan operasi matriks dasar sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ . Tentukan $A + B$ dan $-2A$ .

$A$ dan $B$ keduanya berordo $2 \times 2$ , sehingga seordo. Penjumlahan bisa dilakukan.

$A + B = \begin{bmatrix} 4+1 & -1+3 \\ 2+(-2) & 5+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ .

$-2A = \begin{bmatrix} -2 \cdot 4 & -2 \cdot (-1) \\ -2 \cdot 2 & -2 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 2 \\ -4 & -10 \end{bmatrix}$ . Perhatikan tanda: skalar negatif membalik tanda tiap elemen.

Tantangan diri: untuk ekspresi campuran, kamu cukup menghitung satu elemen tanpa menyusun seluruh matriks.

Jebakan: menjumlahkan matriks berordo berbeda, misalnya $2 \times 3$ dengan $3 \times 2$ . Yang benar: penjumlahan hanya berlaku untuk matriks seordo. Matriks $2 \times 3$ dan $3 \times 2$ tidak seordo meskipun jumlah elemennya sama.

Jebakan: mengalikan skalar hanya ke elemen diagonal atau ke baris pertama saja. Yang benar: skalar dikalikan ke setiap elemen matriks, tanpa terkecuali — termasuk elemen nol (yang tetap nol).

Jebakan: menganggap $A - B$ berarti menjumlahkan elemen lalu memberi tanda minus di luar. Yang benar: $A - B = A + (-1)B$ , artinya tanda tiap elemen $B$ dibalik dulu, baru dijumlahkan dengan $A$ . Elemen $B$ yang positif jadi negatif, sebaliknya.

Penjumlahan matriks hanya untuk matriks seordo: $(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .
Penjumlahan matriks komutatif dan asosiatif.
Perkalian skalar: $(k \cdot A)_{ij} = k \cdot a_{ij}$ , ordo tetap.
Skalar distributif terhadap penjumlahan matriks maupun penjumlahan skalar.
$A - B = A + (-1)B$ ; balik tanda tiap elemen $B$ sebelum menjumlah.