Bentuk Umum & Melengkapkan Kuadrat — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa mengubah persamaan lingkaran bentuk umum menjadi bentuk pusat-jari-jari, serta sebaliknya, lewat teknik melengkapkan kuadrat.

Sebuah persamaan seperti $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ tidak menyerupai bentuk lingkaran yang sudah kamu kenal. Tapi jangan terkecoh — persamaan kabur ini sebenarnya menyimpan sebuah lingkaran utuh dengan pusat dan jari-jari tertentu, hanya saja ditulis dalam bentuk yang “tercecer”. Kuncinya satu teknik lama: melengkapkan kuadrat sempurna. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider D dan E di bawah dan perhatikan lingkaran bergeser tanpa berubah jari-jarinya.

Dua wajah persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran punya dua bentuk yang setara. Bentuk pusat-jari-jari $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ langsung memperlihatkan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ . Bentuk umum $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ justru menyembunyikan keduanya di balik koefisien $D$ , $E$ , dan $F$ . Bentuk umum sering muncul di soal karena lebih alami saat lingkaran diberikan lewat tiga titik yang dilaluinya.

Bentuk umum lingkaran adalah $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ dengan koefisien $x^2$ dan $y^2$ sama (di sini keduanya 1). Persamaan ini setara dengan bentuk pusat-jari-jari, dan pusat serta jari-jarinya bisa dibongkar lewat melengkapkan kuadrat.

Pada plot di atas, slider $D$ dan $E$ menggeser pusat lingkaran ke koordinat $(-D/2, -E/2)$ tanpa mengubah jari-jari. Tanda minus muncul karena melengkapkan kuadrat menghasilkan $(x - a)^2$ — pusat selalu kebalikan tanda setengah koefisien.

Membongkar dengan melengkapkan kuadrat

Untuk mengubah bentuk umum ke bentuk pusat-jari-jari, kelompokkan suku $x$ dan $y$ , lalu melengkapi kuadrat di tiap kelompok. Suku $x^2 + Dx$ dilengkapi dengan menambah $(D/2)^2$ ; suku $y^2 + Ey$ dengan $(E/2)^2$ . Karena kamu menambah di ruas kiri, tambahkan juga di ruas kanan agar keseimbangan terjaga.

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \;\Rightarrow\; \left(x+\tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y+\tfrac{E}{2}\right)^2 = \tfrac{D^2+E^2}{4} - F$

Arti tiap simbol: $D, E, F$ = koefisien bentuk umum; pusat $(a,b) = (-D/2,\,-E/2)$ ; jari-jari $r = \sqrt{\tfrac{D^2+E^2}{4} - F}$ , asalkan ruas kanan positif.

Bangun di bawah memperlihatkan inti melengkapkan kuadrat: sebuah persegi yang “kurang pojoknya” ditambal satu ubin kecil agar menjadi persegi sempurna. Seret ukuran sisi dan amati ubin penambal selalu setengah panjang sisi kuadrat.

Membaca pusat dan jari-jari dari koefisien

Setelah melengkapkan kuadrat, pusat langsung terbaca: $a = -D/2$ dan $b = -E/2$ . Jari-jari adalah akar dari ruas kanan: $r = \sqrt{\tfrac{D^2+E^2}{4} - F}$ . Bila ruas kanan nol, lingkaran merosot menjadi satu titik; bila negatif, tidak ada lingkaran real sama sekali — itulah syarat $\tfrac{D^2+E^2}{4} - F > 0$ .

Plot di bawah memperlihatkan bagaimana menggeser nilai $D$ dan $E$ memindahkan pusat, sedangkan $F$ mengatur jari-jari. Perhatikan hubungan rapat antara tanda koefisien dan arah pergeseran pusat.

Soal bentuk umum lingkaran sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran). Pola umum: diberi persamaan bentuk umum, ditanya pusat dan jari-jari; atau sebaliknya, diberi pusat dan jari-jari, ditanya nilai koefisien. Trik tercepat: pusat $= (-D/2, -E/2)$ tanpa perlu melengkapkan kuadrat penuh — simpan melengkapkan kuadrat hanya untuk mencari jari-jari.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ .

Pisahkan suku $x$ dan $y$ : $(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11$ . Konstanta $F = -11$ dipindah ke ruas kanan menjadi $11$ .

Untuk $x^2 - 6x$ : koefisien linear $-6$ , setengahnya $-3$ , kuadratnya $9$ . Untuk $y^2 + 8y$ : setengah $8$ adalah $4$ , kuadratnya $16$ . Tambahkan kedua angka ini ke kedua ruas: $(x-3)^2 - 9 + (y+4)^2 - 16 = 11$ , sehingga $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 36$ .

Bentuk baku $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 36$ memberi pusat $(3, -4)$ dan jari-jari $r = \sqrt{36} = 6$ . Catat: pusat $y = -4$ muncul dari koefisien $E = 8$ (positif) — tanda berbalik.

Latih kecepatan membaca pusat dari bentuk umum di bawah.

Jebakan: menulis pusat langsung dari tanda koefisien, misalnya $x^2 + y^2 + 4x$ dianggap pusat $x = 4$ . Yang benar: pusat $a = -D/2 = -4/2 = -2$ . Setengah koefisien, lalu balikkan tandanya — jangan pakai nilai mentah.

Jebakan: lupa menambahkan konstanta pelengkap kuadrat ke kedua ruas, sehingga ruas kanan salah dan jari-jari meleset. Yang benar: setiap $(D/2)^2$ yang kamu tambahkan di ruas kiri juga harus ditambahkan di ruas kanan untuk menjaga keseimbangan persamaan.

Bentuk umum: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ (koefisien $x^2$ = $y^2$ ).
Pusat $(a,b) = (-D/2,\,-E/2)$ — kebalikan tanda setengah koefisien.
Jari-jari $r = \sqrt{\tfrac{D^2+E^2}{4} - F}$ , asalkan ruas kanan positif.
Alatnya: melengkapkan kuadrat pada kelompok $x$ dan kelompok $y$ .
Syarat ada lingkaran: $\tfrac{D^2+E^2}{4} - F > 0$ .