Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Setelah ini kamu bisa mengubah bentuk $ax^2 + bx + c$ menjadi $a(x - p)^2 + q$ dan membaca titik puncak parabola langsung dari bentuk kuadrat sempurna itu.

Bayangkan kamu menyusun ubin menjadi sebuah persegi, tapi satu pojoknya bolong. Supaya jadi persegi utuh, kamu perlu menambal pojok itu dengan ubin kecil — dan luas ubin penambal itulah kunci yang akan membuka banyak hal. Trik itu disebut melengkapkan kuadrat, dan ia mengubah $ax^2 + bx + c$ menjadi $a(x - p)^2 + q$ yang jauh lebih mudah dibaca. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $p$ dan $q$ , lalu perhatikan bagaimana puncak parabola $y = (x - p)^2 + q$ berpindah mengikuti.

Tujuan: bentuk $a(x - p)^2 + q$

Bentuk umum $y = ax^2 + bx + c$ bagus untuk mengenali arah parabola dan titik potong sumbu-y. Tapi untuk membaca titik puncak, ada bentuk lain yang jauh lebih ramah: $y = a(x - p)^2 + q$ . Pada bentuk ini, puncak parabola langsung terbaca di koordinat $(p, q)$ tanpa perhitungan.

Bentuk kuadrat sempurna (bentuk vertex) adalah $y = a(x - p)^2 + q$ dengan $a \neq 0$ . Titik puncak parabolanya berada di $(p, q)$ dan sumbu simetrinya adalah garis $x = p$ .

Tantangannya: bagaimana mengubah $ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk itu? Jalannya adalah melengkapkan kuadrat — sebuah trik aljabar yang berasal dari menutup pojok sebuah persegi yang bolong.

$y = a(x - p)^2 + q, \quad \text{puncak} = (p, q), \quad \text{sumbu simetri} \; x = p$

Arti tiap simbol: $a$ = koefisien kuadrat (arah parabola), $p$ = posisi puncak mendatar, $q$ = posisi puncak tegak.

Menambal pojok: dari $x^2 + 2x$ ke $(x + 1)^2$

Ambil $y = x^2 + 2x$ . Bayangkan satu ubin besar $x^2$ , lalu dua ubin panjang $x$ yang kamu tempel di sisi-sisinya. Hasilnya hampir persegi, tapi pojoknya bolong — sebuah kotak kecil berukuran $1 \times 1$ . Agar menjadi persegi utuh, kamu harus menambal pojok itu dengan satu ubin satuan, yaitu $1^2 = 1$ .

Karena kamu menambahkan $1$ agar lengkap, kamu harus mengurangi kembali $1$ agar nilai fungsi tidak berubah. Jadi $x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$ . Inilah inti melengkapkan kuadrat: tambahkan $(\tfrac{b}{2})^2$ , lalu kurangi kembali jumlah yang sama.

Suku pelengkap $(\tfrac{b}{2})^2$ adalah “luas pojok” yang kamu tambal. Setelah menambal, kamu kurangi kembali luas yang sama supaya nilai $y$ tetap — seperti meminjam ubin untuk membentuk persegi, lalu mengembalikannya.

Rumus umum dan peran $a$

Untuk persamaan $y = ax^2 + bx + c$ , langkah baku melengkapkan kuadrat begini: keluarkan $a$ dari dua suku pertama, tambahkan-kurangi $(\tfrac{b}{2a})^2$ di dalam kurung, lalu susun menjadi $a(x - p)^2 + q$ dengan $p = -\tfrac{b}{2a}$ dan $q = c - \tfrac{b^2}{4a}$ .

Contoh, $y = 2x^2 - 12x + 13$ . Keluarkan $a = 2$ : $y = 2(x^2 - 6x) + 13$ . Suku pelengkap di dalam kurung adalah $(\tfrac{-6}{2})^2 = 9$ , jadi tambahkan-kurangi $9$ : $y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 13 = 2(x - 3)^2 - 18 + 13 = 2(x - 3)^2 - 5$ . Sekarang puncaknya terbaca langsung: $(3, -5)$ .

Dua bentuk, satu parabola

Bentuk umum dan bentuk kuadrat sempurna menggambarkan parabola yang persis sama — keduanya hanya memakai kacamata berbeda. Bentuk umum $ax^2 + bx + c$ bagus untuk membaca titik potong sumbu-y ( $c$ ) dan memfaktorkan. Bentuk vertex $a(x - p)^2 + q$ bagus untuk membaca puncak dan sumbu simetri.

Di bawah, parabola yang sama ditampilkan dalam dua wujud. Ubah slider $p$ untuk menggeser puncak, dan perhatikan kedua bentuk itu tetap berimpit — bukti bahwa pelengkap kuadrat hanya mengubah cara menulis, bukan kurvanya.

Di TKA dan UTBK, soal sering memberi bentuk umum lalu menanyakan koordinat puncak — melengkapkan kuadrat adalah jalan paling cepat tanpa menghafal rumus puncak. Trik ujian: hitung $p = -\tfrac{b}{2a}$ untuk absis puncak, lalu substitusi balik untuk $q$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan melengkapkan kuadrat sebagai cakupan resmi pada Fase E.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Ubah $y = x^2 - 6x + 5$ ke bentuk $a(x - p)^2 + q$ , lalu sebut koordinat puncaknya.

Karena $a = 1$ , langsung kerjakan dua suku pertama: $x^2 - 6x$ . Suku pelengkapnya adalah $(\tfrac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$ .

$y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$ . Sekarang sudah berbentuk $a(x - p)^2 + q$ .

Bandingkan dengan $a(x - p)^2 + q$ : diperoleh $p = 3$ dan $q = -4$ . Jadi titik puncaknya $(3, -4)$ , dan sumbu simetrinya $x = 3$ .

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi koefisien $b$ yang berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”. Tugasmu menghitung suku pelengkap $(\tfrac{b}{2})^2$ untuk persamaan $y = x^2 + bx$ — kebiasaan kecil yang menjadi fondasi semua pelengkap kuadrat.

Jebakan: menambahkan suku pelengkap tapi lupa menguranginya kembali, sehingga nilai fungsi berubah. Yang benar: tambahkan $(\tfrac{b}{2})^2$ di dalam kurung sekaligus kurangi jumlah yang sama di luarnya — kesetaraan tetap terjaga.

Jebakan: salah membaca tanda $p$ dari bentuk $a(x - p)^2 + q$ . Yang benar: bentuk $(x - p)$ memberi $p$ positif (mis. $(x - 3)$ → $p = 3$ ), sedangkan $(x + 3)$ berarti $p = -3$ .

Bentuk kuadrat sempurna $a(x - p)^2 + q$ langsung memperlihatkan puncak $(p, q)$ .
Suku pelengkap = $(\tfrac{b}{2a})^2$ ; tambahkan lalu kurangi kembali jumlah itu.
Langkah baku: keluarkan $a$ , lengkapi kuadrat di dalam kurung, susun jadi vertex.
Bentuk umum dan bentuk vertex menggambarkan parabola yang sama.
Trik ini menyiapkan jalan menuju rumus abc dan pembacaan titik puncak.