Rumus ABC: Penyelesai Segala Kuadrat — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menurunkan rumus abc dari melengkapkan kuadrat dan memakainya menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun, termasuk yang tidak dapat difaktorkan.

Pemfaktoran mantap saat akarnya bilangan bulat yang rapi. Tapi apa jadinya kalau akarnya pecahan, atau bahkan tidak riil? Kamu tidak bisa menerka selamanya. Untungnya ada satu rumus yang lahir dari melengkapkan kuadrat — rumus yang sanggup membongkar akar persamaan kuadrat apa pun, rapi maupun berantakan. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $a$ , $b$ , dan $c$ , lalu perhatikan dua titik akar berpindah seiring parabola memotong sumbu-x.

Lahir dari melengkapkan kuadrat

Rumus abc bukan sihir yang harus dihafal mati — ia lahir dari trik melengkapkan kuadrat yang sudah kamu kuasai. Mulai dari bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$ , bagi seluruh persamaan dengan $a$ : $x^2 + \tfrac{b}{a}x + \tfrac{c}{a} = 0$ . Lalu pindahkan konstanta ke ruas kanan: $x^2 + \tfrac{b}{a}x = -\tfrac{c}{a}$ .

Sekarang lengkapi kuadrat di ruas kiri dengan menambahkan $(\tfrac{b}{2a})^2 = \tfrac{b^2}{4a^2}$ . Karena kamu menambahkan ke ruas kiri, ruas kanan juga harus ditambah jumlah yang sama: $x^2 + \tfrac{b}{a}x + \tfrac{b^2}{4a^2} = \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{c}{a}$ . Ruas kiri kini menjadi kuadrat sempurna $(x + \tfrac{b}{2a})^2$ , dan ruas kanan disederhanakan jadi $\tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ .

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Arti tiap simbol: $a$ , $b$ , $c$ = koefisien persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ . Bagian dalam akar, $b^2 - 4ac$ , disebut diskriminan ( $D$ ).

Penyelesai segala kuadrat

Kekuatan rumus abc terletak pada universalitasnya. Pemfaktoran hanya berhasil bila akarnya bilangan bulat atau pecahan sederhana. Tapi banyak persamaan kuadrat punya akar irasional, misalnya $x^2 - 3x + 1 = 0$ . Tidak ada dua bilangan bulat yang kalinya 1 sekaligus jumlahnya $-3$ , jadi pemfaktoran menyerah. Rumus abc tidak pernah menyerah.

Untuk $x^2 - 3x + 1 = 0$ : $a = 1$ , $b = -3$ , $c = 1$ . Maka $x = \tfrac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \tfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ . Karena $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ , kedua akarnya kira-kira $x \approx 2{,}618$ dan $x \approx 0{,}382$ .

Pikirkan rumus abc sebagai mesin penggiling serbaguna: kamu masukkan tiga koefisien $a$ , $b$ , $c$ , dan mesin mengeluarkan akar-akarnya. Tidak peduli apakah akar itu bulat, pecahan, irasional, atau imajiner — mesinnya selalu jalan.

Tak terfaktor pun tetap bekerja

Ingat kasus yang membuat pemfaktoran gagal: $x^2 + x + 1 = 0$ , yang parabolanya tidak pernah menyentuh sumbu-x. Mari kita lihat apa yang dikerjakan rumus abc di sini. Substitusi: $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ . Bagian dalam akar menjadi $b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3$ .

Karena $\sqrt{-3}$ tidak ada di bilangan riil, rumus abc memberi sinyal jelas: tidak ada akar riil. Inilah kekuatan lain rumus abc — ia tidak hanya memberi akar, tapi juga secara jujur memberi tahu kalau akar riil memang tidak ada.

Pemfaktoran vs rumus abc

Lalu kapan memakai pemfaktoran, kapan rumus abc? Aturan praktis: coba pemfaktoran dulu (cepat kalau akarnya bulat), dan jika gagal dalam beberapa detik, langsung pakai rumus abc. Rumus abc tidak pernah salah, hanya kadang lebih panjang. Di bawah, parabola yang sama dipecah dengan dua jalan — keduanya tiba di akar yang persis sama.

Soal TKA dan UTBK sering memberi persamaan kuadrat dengan koefisien yang akarnya tidak rapi — di sinilah rumus abc menyelamatkan waktu. Trik cepat: hitung dulu $D = b^2 - 4ac$ . Kalau $D$ bilangan kuadrat sempurna (mis. $25$ , $36$ ), akarnya rasional dan pemfaktoran mungkin masih bisa. Kalau tidak, langsung tulis rumus abc. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan rumus abc sebagai cakupan resmi pada Fase E.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Selesaikan persamaan $2x^2 - 7x + 3 = 0$ dengan rumus abc.

Bandingkan dengan $ax^2 + bx + c = 0$ . Diperoleh $a = 2$ , $b = -7$ , $c = 3$ .

Substitusi ke $b^2 - 4ac$ : $(-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$ . Karena $25$ positif, ada dua akar real berbeda.

$x = \tfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \tfrac{7 \pm 5}{4}$ . Dua kemungkinan: $x_1 = \tfrac{12}{4} = 3$ dan $x_2 = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$ . Jadi himpunan akarnya $\{3, \tfrac{1}{2}\}$ .

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi koefisien $b$ berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”. Tugasmu menghitung bagian dalam akar $b^2 - 4ac$ untuk persamaan $x^2 + bx - 4 = 0$ — bagian paling kritis yang menentukan jenis akar.

Jebakan: salah menulis tanda pada pembilang rumus abc, misalnya $+b$ padahal seharusnya $-b$ . Yang benar: pembilang selalu diawali $-b$ (negatif dari koefisien $b$ ), jadi kalau $b = -7$ , maka $-b = 7$ .

Jebakan: menganggap rumus abc gagal saat akar imajiner. Yang benar: rumus abc tetap memberi jawaban (bilangan kompleks); yang tidak ada hanyalah akar riil. Di Fase E, pernyataan tepatnya adalah “tidak punya akar riil”.

Rumus abc $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ diturunkan dari melengkapkan kuadrat.
Ia bekerja pada semua persamaan kuadrat — rapi maupun berantakan.
Bagian dalam akar $D = b^2 - 4ac$ menentukan jenis akar (real, kembar, imajiner).
Strategi praktis: coba pemfaktoran dulu, gagal → langsung rumus abc.
Kalau $D$ bilangan kuadrat sempurna, akarnya rasional.