Persamaan Lingkaran — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menuliskan persamaan lingkaran dari pusat dan jari-jarinya, serta membaca pusat dan jari-jari dari persamaan.

Di peta koordinat, lingkaran tak lagi sekadar gambar bulat — ia punya persamaan aljabar. Satu persamaan matematika bisa melukis seluruh keliling lingkaran, dan sebaliknya, satu persamaan menyimpan pusat dan jari-jari lingkaran secara rapi. Kunci jembatannya adalah teorema Pythagoras yang sudah kamu kenal sejak SMP. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret titik pusat $P$ dan titik keliling $A$ pada bangun di bawah dan perhatikan jari-jarinya berubah.

Definisi: himpunan titik berjarak konstan

Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik tetap (pusat). Jarak tetap itu disebut jari-jari. Dalam geometri analitik, jarak antara dua titik dihitung dengan teorema Pythagoras — dan dari sinilah persamaan lingkaran lahir.

Lingkaran adalah himpunan semua titik $(x, y)$ yang berjarak $r$ dari pusat $(a, b)$ . Persamaan lingkaran menyatakan hubungan itu secara aljabar: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ .

Menurunkan persamaan lewat Pythagoras

Ambil sebarang titik $(x, y)$ pada lingkaran berpusat $(a, b)$ berjari-jari $r$ . Jarak titik itu ke pusat adalah $r$ . Perbedaan horizontal $x - a$ dan vertikal $y - b$ sebagai kaki segitiga siku-siku, dengan $r$ sebagai sisi miring — Pythagoras memberi $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ .

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Arti tiap simbol: $(a, b)$ = koordinat pusat lingkaran; $r$ = jari-jari; $(x, y)$ = sebarang titik pada keliling. Persamaan ini berlaku untuk setiap titik di lingkaran, dan hanya titik di lingkaran.

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga siku-siku dengan kaki horizontal $r$ , kaki vertikal $r$ , dan sisi miring — geometri yang melahirkan persamaan lingkaran. Seret titik dan rasakan Pythagoras.

Membaca pusat dan jari-jari dari persamaan

Bila persamaan lingkaran ditulis dalam bentuk baku $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ , pusat dan jari-jari terbaca langsung: pusat $(a, b)$ , jari-jari $r = \sqrt{\text{ruas kanan}}$ . Contoh: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$ → pusat $(2, -3)$ , jari-jari $\sqrt{25} = 5$ . Tanda minus di dalam kurung jadi plus di koordinat pusat.

Plot di bawah menampilkan dua lingkaran dengan pusat berbeda. Perhatikan bagaimana menggeser pusat memindahkan seluruh lingkaran tanpa mengubah jari-jarinya.

Menguji apakah titik berada pada lingkaran

Untuk mengetahui apakah titik $(x_0, y_0)$ berada pada lingkaran, substitusikan ke persamaan. Bila ruas kiri sama dengan ruas kanan ( $r^2$ ), titik itu pada lingkaran; bila lebih kecil, di dalam; bila lebih besar, di luar.

Soal persamaan lingkaran sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran). Pola umum: diberi pusat dan jari-jari (atau diameter), ditanya persamaan; atau diberi persamaan, ditanya pusat dan jari-jari. Hati-hati tanda: $(x-2)^2$ → pusat $x=2$ (minus berbalik plus).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tuliskan persamaan lingkaran berpusat $(-1, 2)$ dan berjari-jari $\sqrt{10}$ . Lalu periksa apakah titik $(2, 3)$ berada pada lingkaran.

Pusat $(a, b) = (-1, 2)$ , jari-jari $r = \sqrt{10}$ . Persamaan: $(x-(-1))^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{10})^2$ , yaitu $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 10$ .

Ruas kiri: $(2+1)^2 + (3-2)^2 = 9 + 1 = 10$ . Ruas kanan: $10$ . Karena kiri sama dengan kanan, titik $(2, 3)$ berada pada lingkaran.

Persamaan lingkaran $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 10$ , dan titik $(2, 3)$ terletak pada lingkaran tersebut (terbukti oleh persamaan terpenuhi).

Latih membaca jari-jari dari persamaan acak di bawah.

Jebakan: menulis pusat langsung sesuai tanda dalam kurung, misalnya $(x-3)^2$ dianggap pusat $(-3, \ldots)$ . Yang benar: pusat adalah kebalikan tanda dalam kurung — $(x-3)^2$ → pusat $x = 3$ . Tanda minus berarti koordinat positif, plus berarti koordinat negatif.

Jebakan: menganggap ruas kanan persamaan = jari-jari. Yang benar: ruas kanan = $r^2$ (jari-jari kuadrat). Untuk dapat jari-jari, akarkan: $r = \sqrt{\text{ruas kanan}}$ .

Persamaan lingkaran bentuk baku: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ .
$(a, b)$ = pusat (kebalikan tanda dalam kurung).
$r = \sqrt{\text{ruas kanan}}$ (akar dulu, jangan pakai nilai mentah).
Turun dari Pythagoras: jarak titik ke pusat = jari-jari.
Uji titik: substitusi; terpenuhi → pada lingkaran.