Soal Cerita Optimasi Sederhana — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa mencari nilai maksimum atau minimum dalam soal cerita memakai titik puncak fungsi kuadrat dan uji titik kritis.

Seorang petani punya 40 meter pagar untuk kandang yang menempel pada tembok, sehingga hanya tiga sisi yang berpagar. Berapa lebar yang membuat luas kandang maksimum? Banyak orang menebak “persegi”, tapi jawabannya muncul dari puncak sebuah parabola. Memahami optimasi membuat keputusan usaha dan desain berbasis besaran terbaik, bukan tebakan. Coba geser slider lebar di bawah dan amati luas meluncur naik lalu turun menyusuri parabola.

Coba geser slider lebar, lalu perhatikan luas mencapai puncak lalu turun kembali.

Memodelkan luas sebagai fungsi kuadrat

Optimasi dimulai dengan menulis besaran yang ingin dimaksimalkan sebagai fungsi satu variabel. Untuk kandang menempel tembok dengan keliling pagar $K$ tiga sisi (dua lebar $w$ dan satu panjang), berlaku $2w + p = K$ , sehingga $p = K - 2w$ . Luasnya $A = w \times p = w(K - 2w) = -2w^2 + Kw$ , sebuah fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah, sehingga punya nilai maksimum di puncak.

$A(w) = -2w^2 + Kw, \quad w_{\text{puncak}} = \frac{K}{4}$

Arti tiap simbol: $w$ = lebar, $K$ = keliling pagar (tiga sisi), $w_{\text{puncak}}$ = lebar yang memberi luas maksimum.

Puncak parabola

Puncak fungsi kuadrat $ax^2 + bx + c$ berada di $x = -\frac{b}{2a}$ . Untuk $A(w) = -2w^2 + Kw$ , koefisiennya $a = -2$ dan $b = K$ , sehingga $w_{\text{puncak}} = -\frac{K}{2(-2)} = \frac{K}{4}$ . Karena $a$ negatif, parabola terbuka ke bawah dan puncaknya adalah maksimum. Untuk $K = 40$ : $w_{\text{puncak}} = 10$ m, $p = 40 - 20 = 20$ m, dan luas maksimum $= 10 \times 20 = 200$ m².

Geser lebar terlalu kecil → panjangnya panjang sekali tapi luasnya kecil (seperti koridor). Geser lebar terlalu besar → panjangnya mengecil hingga nyaris habis. Puncak parabola adalah titik manis di antara dua ekstrem itu.

Coba lihat bagaimana keliling menggeser puncak pada grafik berikut.

Optimasi keuntungan

Pola yang sama berlaku pada keuntungan. Bila harga jual turun saat produksi naik, pendapatan $R(q) = (a - bq)q$ berbentuk kuadrat terbuka ke bawah, sehingga ada kuantitas produksi yang memaksimalkan pendapatan. Puncaknya di $q = \frac{a}{2b}$ . Soal cerita optimasi sering menyamarkan fungsi kuadrat di balik kata-kata “tiap tambahan produksi menurunkan harga”.

Kerangka resmi UTBK (snpmb.id/fr) memasukkan optimasi sederhana ke dalam domain aljabar Penalaran Matematika. Soal tipe ini sering menyodorkan konteks keliling pagar atau keuntungan produksi lalu memintamu menemukan nilai maksimum atau minimum.

Latih dengan angka acak

Kerjakan dua latihan berikut; tulis model kuadrat di kertas sebelum mengisi jawaban.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Petani punya 40 m pagar untuk kandang menempel tembok (tiga sisi). Berapa luas maksimum kandang?

$A(w) = w(40 - 2w) = -2w^2 + 40w$ .

$w_{\text{puncak}} = -\frac{40}{2(-2)} = 10$ m, sehingga $p = 40 - 2(10) = 20$ m.

$A = 10 \times 20 = 200$ m².

Jebakan: mengira luas maksimum selalu terjadi pada bentuk persegi. Yang benar: bentuk optimum bergantung pada konstrain (satu sisi menempel tembok, pagar empat sisi penuh, dsb.); gunakan rumus puncak, bukan tebakan persegi.

Jebakan: salah tanda rumus puncak. Yang benar: puncak parabola di $x = -\frac{b}{2a}$ ; tanda minus mudah terlewat, terutama saat $a$ negatif.

Optimasi dimulai dengan menulis besaran sebagai fungsi kuadrat satu variabel.
Puncak parabola $ax^2 + bx + c$ di $x = -\frac{b}{2a}$ .
$a < 0$ → parabola terbuka ke bawah, puncak adalah maksimum.
Kandang menempel tembok dengan keliling $K$ : luas maksimum di $w = \frac{K}{4}$ .
Jangan tebak bentuk persegi; selalu turunkan dari model.