Proyeksi Vektor: Bayangan pada Arah Lain — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung proyeksi skalar dan proyeksi vektor ortogonal suatu vektor pada vektor lain, serta menjelaskan mengapa proyeksi lenyap saat kedua vektor tegak lurus.

Bayangkan matahari tepat di atas kepala, tegak lurus ke bumi. Sebatang tongkat yang berdiri miring akan membentuk bayangan di tanah — semakin tegak tongkat, semakin pendek bayangannya; semakin rebah, semakin panjang. Saat tongkat benar-benar berdiri (tegak lurus tanah), bayangannya lenyap menjadi titik. Proyeksi vektor bekerja persis begitu: kita “menjatuhkan” satu vektor secara tegak lurus ke arah vektor lain, dan bayangan itulah proyeksinya. Coba seret kedua vektor di bawah dan saksikan bayangannya memanjang-memendek.

Coba seret ujung vektor a dan b, lalu perhatikan bayangan a yang jatuh tegak lurus pada arah b.

Bayangan vektor: kaki tegak lurus

Proyeksi vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ adalah bayangan $\vec{a}$ jika “cahaya” dijatuhkan tegak lurus ke garis arah $\vec{b}$ . Geometrisnya: tarik kaki tegak lurus dari ujung $\vec{a}$ ke garis yang memuat $\vec{b}$ . Titik jatuh kaki tegak lurus itulah ujung vektor proyeksi $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a}$ .

Proyeksi vektor ortogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ (ditulis $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a}$ ) adalah vektor searah $\vec{b}$ yang ujungnya adalah kaki tegak lurus dari ujung $\vec{a}$ ke garis memuat $\vec{b}$ .

Bangun di bawah memperlihatkan konstruksi ini sebagai segitiga siku-siku: $\vec{a}$ sebagai sisi miring, proyeksi sebagai satu kaki mendatar di sepanjang arah $\vec{b}$ , dan selisih tegak lurus sebagai kaki tegak. Seret titik sudut — kamu bisa melihat bayangan tumbuh saat sudut apit mengecil, dan menyusut saat sudut membesar.

Proyeksi skalar dan vektor: rumus dot product

Karena proyeksi sepanjang arah $\vec{b}$ , ia dihitung lewat perkalian dot. Bentuk skalar (panjang bayangan bertanda) dan bentuk vektor (panah sepanjang $\vec{b}$ ) memakai rumus beruntun ini.

$\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}, \qquad \text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$

Arti tiap simbol: $\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a}$ = proyeksi skalar (panjang bertanda, negatif bila berlawanan arah $\vec{b}$ ); $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a}$ = vektor proyeksi searah $\vec{b}$ ; $\vec{a}\cdot\vec{b}$ = perkalian dot; $|\vec{b}|$ = besar vektor $\vec{b}$ .

Rumus skalar $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$ memberi panjang bayangan. Untuk mendapatkan vektor proyeksi, kalikan skalar itu dengan vektor satuan $\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ , sehingga rumusnya menjadi $\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$ . Selalu ada dua pilihan tampilan: panjang saja (skalar) atau panah (vektor).

Baca rumus proyeksi skalar sebagai: “seberapa banyak $\vec{a}$ ‘mengarah ke’ $\vec{b}$ ”. Bila $\vec{a}$ searah $\vec{b}$ , hasilnya positif besar. Bila berlawanan, negatif. Bila tegak lurus, nol — sama sekali tidak ada komponen $\vec{a}$ yang “menuju” arah $\vec{b}$ . Inilah kenapa proyeksi menjadi detektor tegak lurus yang elegan.

Kasus tegak lurus: bayangan lenyap

Saat $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{b}$ , perkalian dot mereka nol. Konsekuensinya langsung: proyeksi skalar $\dfrac{0}{|\vec{b}|} = 0$ , dan vektor proyeksi juga nol. Bayangan lenyap menjadi titik di pangkal — persis seperti tongkat yang berdiri tegak lurus di tanah saat matahari di zenit.

Papan di bawah memperlihatkan dua vektor yang bisa kamu putar. Geser ujung $\vec{a}$ hingga membentuk siku-siku dengan $\vec{b}$ , dan perhatikan bahwa saat itulah proyeksinya menjadi nol.

Di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran), proyeksi vektor tiga komponen sering diujikan. Pola umum: diberi dua vektor, ditanya proyeksi skalar atau vektor. Trik cepat: hitung dulu perkalian dot dan kuadrat besar vektor sasaran — keduanya jadi bahan bakar rumus proyeksi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\vec{a} = (3, 4)$ dan $\vec{b} = (4, 0)$ . Hitung proyeksi skalar $\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a}$ dan vektor proyeksi $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a}$ .

$\vec{a}\cdot\vec{b} = (3)(4) + (4)(0) = 12$ . Besar $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$ , dan $|\vec{b}|^2 = 16$ .

$\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|} = \dfrac{12}{4} = 3$ . Panjang bayangan $\vec{a}$ pada arah $\vec{b}$ adalah $3$ satuan, positif (searah $\vec{b}$ ).

$\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} = \dfrac{12}{16}(4, 0) = (0{,}75)(4, 0) = (3;\; 0)$ . Cek: panjangnya $3$ — cocok dengan proyeksi skalar.

Latih menghitung proyeksi skalar dengan angka acak di bawah.

Jebakan: mencampur penyebut rumus skalar dan vektor. Yang benar: proyeksi skalar memakai $|\vec{b}|$ (satu kali), sedangkan proyeksi vektor memakai $|\vec{b}|^2$ (dua kali) — karena masih dikalikan $\vec{b}$ yang membawa satu faktor besar.

Jebakan: mengira proyeksi skalar selalu positif karena disebut “panjang”. Yang benar: proyeksi skalar bertanda — positif bila searah $\vec{b}$ , negatif bila berlawanan. Hanya panjang vektor proyeksi yang selalu positif.

Jebakan: menormalisasi arah terbalik — menghitung proyeksi $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ padahal yang ditanya proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ . Yang benar: teliti urutan; pembilang selalu dot product (simetris), tapi penyebut memakai besar vektor sasaran (yang diproyeksikan kepadanya), bukan vektor yang diproyeksikan.

Proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ : bayangan $\vec{a}$ bila kaki tegak lurus dijatuhkan ke garis arah $\vec{b}$ .
Proyeksi skalar: $\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$ (bertanda).
Proyeksi vektor: $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$ (searah $\vec{b}$ ).
Tegak lurus $\Rightarrow$ dot nol $\Rightarrow$ proyeksi lenyap (nol).
Penyebut skalar = $|\vec{b}|$ ; penyebut vektor = $|\vec{b}|^2$ .