Perkalian Dot Vektor & Sudut — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung perkalian dot dua vektor lewat komponen maupun cosinus sudut, menentukan sudut antara dua vektor, serta menguji kedudukan tegak lurus.

Bagaimana kamu tahu apakah dua dinding benar-benar tegak lurus, atau dua jalan benar-benar sejajar? Dengan penggaris besar susah; dengan vektor, mudah. Ada satu operasi bernama perkalian dot yang menghasilkan angka tunggal — dan angka itu justru nol tepat saat dua vektor saling tegak lurus. Lebih lagi, dot product mengukur seberapa “searah” dua vektor. Seret kedua panah di bawah, dan saksikan bagaimana dot product berubah tanda saat sudutnya melewati siku-siku.

Coba seret ujung kedua vektor dan perhatikan sudut apit di antaranya berubah.

Definisi dot product: komponen dan geometri

Berbeda dengan penjumlahan yang menghasilkan vektor baru, perkalian dot (juga disebut perkalian skalar) menghasilkan sebuah bilangan skalar tunggal. Ada dua cara menghitungnya yang setara: lewat komponen dan lewat geometri sudut.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x\, b_x + a_y\, b_y = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$

Arti tiap simbol: $a_x, b_x$ = komponen- $x$ kedua vektor; $a_y, b_y$ = komponen- $y$ ; $\theta$ = sudut apit antara kedua vektor (dari $0^\circ$ sampai $180^\circ$ ). Hasilnya selalu skalar, bukan vektor.

Rumus komponen $a_x b_x + a_y b_y$ cepat dikerjakan bila komponen diketahui. Rumus geometri $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ berguna saat yang diketahui besar dan sudut — misalnya memeriksa apakah dua vektor tegak lurus. Keduanya setara, terhubung lewat definisi cosinus.

Anggap dot product sebagai “tingkat searah” dua vektor. Bila searah sempurna ( $\theta=0^\circ$ ), hasilnya maksimal positif karena $\cos 0 = 1$ . Bila berlawanan arah ( $\theta=180^\circ$ ), hasilnya paling negatif. Dan bila tegak lurus ( $\theta=90^\circ$ ), hasilnya nol — kedua vektor “tidak peduli” satu sama lain.

Sudut antara dua vektor

Dari rumus geometri, kamu bisa membalik untuk mencari $\theta$ bila komponen kedua vektor diketahui. Hitung dot product lewat komponen, lalu bagi dengan hasil kali besar kedua vektor.

$\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}, \qquad \theta = \arccos\!\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\right)$

Arti tiap simbol: $\theta \in [0^\circ, 180^\circ]$ ; $\cos\theta$ positif saat lancip, nol saat siku-siku, negatif saat tumpul. Sudut selalu diambil yang terkecil antara dua vektor berpangkal sama.

Bangun segitiga di bawah memperlihatkan dua vektor sebagai sisi yang berpangkal di titik yang sama. Seret titik sudutnya untuk mengubah panjang dan sudut apit, dan amati bagaimana bentuknya berubah dari lancip ke tumpul.

Uji tegak lurus: dot product nol

Dua vektor tegak lurus (ortogonal) bila sudut apitnya $90^\circ$ . Karena $\cos 90^\circ = 0$ , rumus geometri langsung memberi syarat sederhana: dot product mereka nol.

Dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ tegak lurus (ditulis $\vec{a} \perp \vec{b}$ ) jika dan hanya jika $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = 0$ . Ini uji cepat tanpa perlu menghitung sudut.

Papan di bawah menampilkan dua vektor yang sudut apitnya bisa kamu atur. Geser ujungnya hingga membentuk siku-siku, dan perhatikan bahwa saat itulah komponen-komponennya memenuhi $a_x b_x + a_y b_y = 0$ .

Dot product sebagai proyeksi

Ada makna geometris lain yang elegan. Dot product $\vec{a}\cdot\vec{b}$ sama dengan panjang proyeksi $\vec{a}$ pada arah $\vec{b}$ dikalikan panjang $\vec{b}$ . Inilah kenapa dot product nol saat tegak lurus — proyeksinya lenyap.

Soal dot product sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran, vektor maksimal 3 komponen). Pola umum: diberi dua vektor, ditanya nilai dot product, sudut apit, atau apakah keduanya tegak lurus. Trik cepat: untuk uji tegak lurus, cukup hitung $a_x b_x + a_y b_y$ — tanpa perlu mencari sudut.

Bangun persegi panjang di bawah menggambarkan proyeksi: sisi horizontal adalah “bayangan” vektor $\vec{a}$ pada arah $\vec{b}$ . Seret titik sudutnya dan lihat panjang bayangan memanjang-memendek.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\vec{a} = (2, 3)$ dan $\vec{b} = (4, -1)$ . Hitung $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , lalu tentukan apakah kedua vektor tegak lurus.

$\vec{a}\cdot\vec{b} = (2)(4) + (3)(-1) = 8 - 3 = 5$ . Komponen- $x$ dikalikan komponen- $x$ , komponen- $y$ dikalikan komponen- $y$ , lalu dijumlahkan.

Karena $\vec{a}\cdot\vec{b} = 5 \neq 0$ , kedua vektor tidak tegak lurus. Karena dot product positif, sudut apitnya lancip (cos $\theta > 0$ ).

Latih kecepatan menghitung dot product dengan angka acak di bawah.

Jebakan: mengira perkalian dot menghasilkan vektor seperti penjumlahan. Yang benar: perkalian dot menghasilkan skalar (bilangan tunggal), bukan vektor baru. Inilah kenapa dinamakan juga “perkalian skalar”.

Jebakan: memakai rumus geometri $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ dengan $\theta$ dalam derajat tapi kalkulator di mode radian, sehingga cos salah. Yang benar: pastikan mode kalkulator sesuai sudut yang dimasukkan; $\cos 60^\circ = 0{,}5$ tapi $\cos 60 \text{ rad} \approx -0{,}95$ .

Jebakan: menyimpulkan dua vektor tegak lurus hanya karena komponennya berbeda. Yang benar: uji satu-satunya adalah $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = 0$ . Vektor $(2,3)$ dan $(4,1)$ berbeda tapi tidak tegak lurus — dot-nya $8+3=11 \neq 0$ .

Perkalian dot $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$ (komponen) $= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ (geometri).
Hasil dot product selalu skalar, bukan vektor.
Sudut apit: $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ; lancip positif, siku nol, tumpul negatif.
Tegak lurus (ortogonal) $\iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ — uji cepat tanpa hitung sudut.
$\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ ; dot product mengukur tingkat searah dua vektor.