Membuktikan Sifat Geometri dengan Vektor — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membuktikan sifat bangun geometri (diagonal jajargenjang berpotongan di tengah, garis berat segitiga konkuren, diagonal belah ketupat tegak lurus) memakai aljabar vektor.

Bagaimana kamu yakin bahwa kedua diagonal jajargenjang selalu berpotongan tepat di tengah, apa pun bentuknya? Bisa kamu ukur dengan penggaris, tapi itu hanya untuk satu jajargenjang. Untuk membuktikannya bagi semua jajargenjang sekaligus, kamu butuh alat yang berlaku umum: aljabar vektor. Triknya — nyatakan titik sudut sebagai vektor posisi, lalu hitung. Bila rumus berakhir sama, sifatnya terbukti. Coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik sudut jajargenjang dan perhatikan kedua diagonal selalu berpotongan di tengahnya.

Vektor posisi: titik sebagai vektor

Dalam pembuktian vektor, setiap titik dinyatakan sebagai vektor posisi dari asal $O$ . Titik $P$ ditulis $\vec{p} = \overrightarrow{OP}$ . Keuntungannya: seluruh sifat geometri berubah menjadi persamaan aljabar yang bisa dimanipulasi. Titik tengah ruas $PQ$ , misalnya, langsung tertulis sebagai rata-rata kedua vektor posisi.

$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} \qquad \text{(vektor posisi titik tengah ruas PQ)}$

Arti tiap simbol: $\vec{p}, \vec{q}$ = vektor posisi ujung ruas; $\vec{m}$ = vektor posisi titik tengah. Pembagi 2 karena titik tengah membagi ruas menjadi dua bagian sama panjang.

Anggap vektor posisi sebagai “alamat” titik dari asal. Titik tengah adalah alamat rata-rata dua titik — tepat di tengah. Seluruh pembuktian vektor berputar pada ide sederhana ini: jabarkan sifat geometri sebagai persamaan vektor posisi, lalu sederhanakan.

Bukti: diagonal jajargenjang berpotongan di tengah

Ambil jajargenjang $ABCD$ dengan $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ sebagai vektor posisi titik sudutnya. Sifat penentu jajargenjang: sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, sehingga $\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}$ . Dari sini, $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$ .

Sekarang hitung titik tengah kedua diagonal. Titik tengah diagonal $AC$ adalah $\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ . Titik tengah diagonal $BD$ adalah $\frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{c} - \vec{b} + \vec{a})}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ . Keduanya sama — terbukti kedua diagonal berpotongan di titik yang sama, dan titik itu tepat di tengah masing-masing diagonal. Penting: pembuktikan ini tak bergantung pada ukuran atau kemiringan jajargenjang apa pun.

Bukti: garis berat segitiga konkuren

Garis berat segitiga adalah ruas dari sebuah titik sudut ke titik tengah sisi di hadapannya. Tiga garis berat sebuah segitiga selalu berpotongan di satu titik yang disebut titik berat (sentroid). Bukti vektornya elegan. Misalkan vektor posisi ketiga titik sudut $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Titik tengah sisi $BC$ adalah $\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ . Titik berat membagi setiap garis berat dengan perbandingan 2 : 1 dari titik sudut, sehingga vektor posisinya adalah rata-rata berbobot ketiga titik sudut.

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \qquad \text{(vektor posisi titik berat segitiga ABC)}$

Arti tiap simbol: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ = vektor posisi ketiga titik sudut; $\vec{g}$ = vektor posisi titik berat. Pembagi 3 karena titik berat adalah rata-rata simetris ketiga titik sudut. Simetri inilah yang menjamin ketiga garis berat lewat titik yang sama.

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga dengan tiga garis beratnya. Seret titik sudut dan amati ketiga garis berat selalu berpotongan di satu titik — titik berat — yang terletak sepertiga dari sisi ke titik sudut.

Bukti: diagonal belah ketupat saling tegak lurus

Belah ketupat adalah jajargenjang khusus dengan keempat sisi sama panjang. Misalkan $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah dua vektor sisi yang berpangkal sama. Kedua diagonal belah ketupat adalah $\vec{u} + \vec{v}$ dan $\vec{u} - \vec{v}$ . Karena keempat sisi sama panjang, $|\vec{u}| = |\vec{v}|$ , sehingga $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0$ . Dot product nol berarti kedua diagonal tegak lurus — terbukti dengan satu baris aljabar.

Pembuktian geometris dengan vektor adalah materi Matematika Tingkat Lanjut (Kurikulum Merdeka, kerangka 045/H/AN/2025). Soal sering meminta pembuktian sifat jajargenjang, belah ketupat, atau segitiga lewat vektor posisi dan dot product. Trik umum: nyatakan titik sudut sebagai vektor posisi, manfaatkan sifat penentu bangun (sisi sejajar sama panjang, sisi sama panjang), lalu hitung titik tengah atau dot product. Bila berakhir nol atau sama, sifat terbukti.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Buktikan bahwa titik tengah kedua diagonal sebuah jajargenjang berimpit, dengan vektor posisi titik sudut $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ .

Sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , sehingga $\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}$ . Susun ulang: $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$ .

Titik tengah diagonal $AC$ : $\vec{m}_1 = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ . Titik tengah diagonal $BD$ : $\vec{m}_2 = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{c} - \vec{b} + \vec{a})}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ .

Karena $\vec{m}_1 = \vec{m}_2 = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ , kedua diagonal berpotongan di titik yang sama, dan titik itu tepat di tengah masing-masing diagonal. Terbukti untuk semua jajargenjang sekaligus, tanpa mengukur satupun.

Jebakan: mengukur satu bangun lalu menyimpulkan sifatnya berlaku umum. Yang benar: pengukuran hanya contoh; pembuktian umum butuh aljabar vektor posisi yang berlaku bagi semua bangun sejenis. Tanpa pembuktian, sifat belum terjamin.

Jebakan: menukar sifat jajargenjang dan belah ketupat. Yang benar: jajargenjang hanya menuntut sisi berhadapan sejajar sama panjang (diagonal berpotongan di tengah, belum tentu tegak lurus). Belah ketupat menambah syarat keempat sisi sama panjang (diagonal tegak lurus). Sifat tambahan datang dari syarat tambahan.

Jebakan: mengira titik berat membagi garis berat sama panjang (1 banding 1). Yang benar: titik berat membagi tiap garis berat dengan rasio 2 banding 1 dari titik sudut ke sisi — dua kali lebih jauh dari titik sudut daripada dari sisi.

Nyatakan titik sebagai vektor posisi dari asal; sifat geometri berubah jadi persamaan aljabar.
Titik tengah ruas $PQ$ : $\frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$ .
Diagonal jajargenjang berpotongan di titik tengah masing-masing (dibuktikan lewat $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$ ).
Titik berat segitiga: $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ ; membagi garis berat rasio 2 : 1.
Diagonal belah ketupat tegak lurus: $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0$ .