Operasi Vektor: Jumlah, Kurang & Skalar — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjumlahkan dan mengurangkan vektor lewat aturan segitiga dan jajargenjang, mengalikannya dengan skalar, serta memakai sifat aljabar komponen.

Sebuah perahu ingin menyeberang sungai. Dayungnya mendorong perahu lurus ke utara, tapi arus sungai menyeret perahu ke timur. Ke mana sebenarnya perahu bergerak? Bukan ke utara, bukan pula ke timur — melainkan miring sesuai gabungan kedua gaya itu. Inilah inti penjumlahan vektor: dua panah digabung menjadi satu resultan. Bagaimana caranya secara aljabar maupun gambar? Seret kedua vektor di bawah dan lihat resultannya hidup.

Coba seret ujung vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ , lalu perhatikan resultan $\vec{a}+\vec{b}$ berubah.

Aturan segitiga dan jajargenjang

Dua vektor dijumlahkan dengan menumpuk kepala ke ekor: letakkan pangkal vektor kedua di ujung vektor pertama, lalu tarik resultan dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua. Inilah aturan segitiga. Secara komponen, penjumlahan sangat sederhana — tambahkan komponen yang bersesuaian.

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y)$

Arti tiap simbol: $\vec{a}, \vec{b}$ = dua vektor yang dijumlahkan; resultan $\vec{a}+\vec{b}$ = vektor baru dengan komponen- $x$ dan komponen- $y$ masing-masing dijumlahkan bersesuaian.

Cara lain yang setara adalah aturan jajargenjang: kedua vektor diletakkan berpangkal di titik yang sama, lalu resultan adalah diagonal jajargenjang yang dibentuknya. Papan di bawah memakai aturan jajargenjang pada pasangan vektor yang sama — bandingkan bentuk resultannya dengan aturan segitiga di atas. Hasil akhirnya selalu identik.

Pengurangan: lawan vektor

Mengurangkan vektor berarti menjumlahkan dengan lawannya: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ . Lawan sebuah vektor $-\vec{b}$ memiliki komponen berlawanan tanda, sehingga panahnya membalik arah $180^\circ$ dengan panjang yang sama.

Lawan vektor $-\vec{b} = (-b_x, -b_y)$ berbeda $180^\circ$ dari $\vec{b}$ , dengan $|-\vec{b}| = |\vec{b}|$ . Pengurangan $\vec{a}-\vec{b} = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)$ .

Bangun di bawah memperlihatkan jajargenjang yang dibentuk $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ; salah satu diagonalnya adalah resultan $\vec{a}+\vec{b}$ , diagonal yang lain adalah selisih $\vec{a}-\vec{b}$ . Seret titik sudutnya untuk merasakan bagaimana kedua diagonal itu berubah.

Kelipatan skalar dan kombinasi linier

Mengalikan vektor dengan skalar $k$ mengubah besarnya tanpa memutar arahnya (bila $k>0$ ) atau membaliknya (bila $k<0$ ). Dua vektor atau lebih bisa digabung dengan kelipatan skalar menjadi kombinasi linier, misalnya $\vec{u} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ .

$k\,\vec{a} = (k\,a_x,\ k\,a_y), \quad m\,\vec{a} + n\,\vec{b} = (m\,a_x + n\,b_x,\ m\,a_y + n\,b_y)$

Arti tiap simbol: $k, m, n$ = bilangan skalar (boleh negatif, nol, pecahan); $k\,\vec{a}$ = vektor baru dengan komponen dikalikan $k$ . Kombinasi linier menjumlahkan beberapa kelipatan skalar vektor sekaligus.

Bayangkan vektor $\vec{a}$ sebagai “langkah ke timur” dan $\vec{b}$ sebagai “langkah ke utara”. Kombinasi linier $3\vec{a} + 2\vec{b}$ berarti 3 langkah ke timur lalu 2 langkah ke utara — titik akhirmu adalah resultan kombinasi itu. Inilah cara vektor menjelaskan posisi di peta berpetak.

Papan di bawah memperlihatkan kombinasi linier $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ yang sudah dikalikan skalar pada masing-masing vektor. Seret kedua vektor dasarnya, dan amati bagaimana resultan gabungan ikut berubah.

Soal vektor sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran, vektor maksimal 3 komponen). Pola umum: diberi dua vektor beserta kelipatan skalarnya, ditanya resultan atau besarnya. Trik andalan: jumlahkan komponen yang bersesuaian dulu, baru hitung besarnya lewat Pythagoras.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\vec{a} = (2, 1)$ dan $\vec{b} = (-1, 3)$ . Tentukan $\vec{a} + \vec{b}$ , $\vec{a} - \vec{b}$ , dan besarnya masing-masing.

$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1),\ 1 + 3) = (1, 4)$ . Komponen- $x$ dan komponen- $y$ dijumlahkan bersesuaian. Besarnya $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$ .

$\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1),\ 1 - 3) = (3, -2)$ . Perhatikan tanda: mengurangi $(-1)$ sama dengan menambah $1$ . Besarnya $\sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ .

Latih kecepatan menghitung resultan dan besarnya dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menjumlahkan besar dua vektor untuk mendapat besar resultan, $|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ . Yang benar: jumlahkan komponen dulu, baru akarkan. Besar resultan bisa lebih kecil dari jumlah besar (bila kedua vektor berlawanan arah, resultan bisa nol).

Jebakan: pada pengurangan $\vec{a}-\vec{b}$ , menulis komponen sebagai $(b_x - a_x,\ b_y - a_y)$ (terbalik). Yang benar: $\vec{a}-\vec{b} = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)$ — vektor pertama dikurangi vektor kedua, komponen per komponen.

Penjumlahan vektor: $\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x,\ a_y+b_y)$ ; geometris = segitiga/jajargenjang.
Pengurangan = penjumlahan dengan lawan: $\vec{a}-\vec{b} = (a_x-b_x,\ a_y-b_y)$ .
Kelipatan skalar $k\,\vec{a} = (k\,a_x,\ k\,a_y)$ ; $k<0$ membalik arah.
Kombinasi linier $m\,\vec{a}+n\,\vec{b}$ = jumlah kelipatan skalar beberapa vektor.
Besar resultan dihitung Pythagoras dari komponen, bukan menjumlahkan besar.