Vektor: Besaran Berarah

Setelah ini kamu bisa menyatakan vektor lewat komponen di bidang, menghitung besarnya, serta menjumlahkan dan mengalikan vektor dengan skalar.

Saat kamu memberi petunjuk ke teman, kamu tidak hanya berkata “berjalan 3 km” — kamu juga bilang “ke utara”. Jarak saja tidak cukup; arah juga bagian dari informasi. Besaran yang punya besar sekaligus arah seperti ini disebut vektor, dan ia muncul di mana-mana: kecepatan angin, gaya dorong, perpindahan pesawat. Dalam matematika, vektor digambar sebagai panah. Coba seret panahnya di bawah.

Coba seret ujung vektor a di bawah dan perhatikan besar serta arahnya berubah.

Vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah. Lawannya, skalar adalah besaran yang hanya punya besar — misalnya suhu, massa, waktu. Vektor digambar sebagai panah: panjang panah menyatakan besar, dan arah ujung panah menyatakan arah vektor. Simbol vektor biasanya ditulis huruf tebal $\mathbf{a}$ atau dengan tanda panah di atas $\vec{a}$ .

Vektor di bidang ditulis $\vec{a} = (a_x, a_y)$ , dengan $a_x$ = komponen mendatar dan $a_y$ = komponen tegak. Besar vektor $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ (rumus Pythagoras). Vektor berpangkal di titik asal $(0,0)$ dan berujung di titik $(a_x, a_y)$ .

Pada papan di atas, vektor $\vec{a} = (3, 4)$ berarti geser 3 satuan ke kanan lalu 4 satuan ke atas — ujungnya berada di titik $(3, 4)$ . Besarnya $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . Komponen negatif berarti ke kiri atau ke bawah: $\vec{b} = (-2, 3)$ berarti 2 satuan ke kiri dan 3 ke atas.

Menjumlahkan vektor: resultan

Dua vektor dijumlahkan dengan aturan segitiga (juga disebut kepala-ekor): letakkan pangkal vektor kedua di ujung vektor pertama, lalu tarik vektor resultan dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua. Secara komponen, penjumlahan sangat sederhana: tambahkan komponen yang bersesuaian.

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y)$

Arti tiap simbol: $\vec{a}, \vec{b}$ = dua vektor dijumlahkan; resultan $\vec{a}+\vec{b}$ = vektor baru dengan komponen yang dijumlahkan bersesuaian. Geometris: aturan segitiga (kepala-ekor) atau jajargenjang.

Papan di bawah menjumlahkan dua vektor. Geser ujung $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ , lalu lihat resultan $\vec{a}+\vec{b}$ berubah. Resultan selalu membentuk sisi ketiga segitiga yang dibentuk kedua vektor.

Kelipatan skalar: meregang dan membalik

Mengalikan vektor dengan bilangan (skalar) $k$ mengubah besarnya tanpa memutar arahnya (bila $k > 0$ ) atau membaliknya (bila $k < 0$ ). Skalar $k = 2$ membuat vektor dua kali lebih panjang searah; $k = -1$ membalik arah vektor tanpa mengubah panjang; $k = 0{,}5$ memendekkannya menjadi setengah.

$k\,\vec{a} = (k\,a_x,\ k\,a_y), \quad |k\,\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

Arti tiap simbol: $k$ = bilangan skalar (bisa negatif, nol, atau pecahan); $k\,\vec{a}$ = vektor baru dengan komponen dikalikan $k$ . $k > 0$ searah, $k < 0$ berlawanan arah, $k = 0$ → vektor nol.

Papan di bawah mengalikan vektor $\vec{a}$ dengan skalar $k$ yang bisa kamu geser dari $-3$ sampai $3$ . Geser slider $k$ dan amati vektor hasil meregang, memendek, atau berbalik arah saat $k$ melewati nol.

Soal vektor sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran, vektor maksimal 3 komponen). Pola umum: diberi dua vektor, ditanya resultan atau besarnya. Trik cepat: jumlahkan komponen yang bersesuaian dulu, baru hitung besarnya lewat Pythagoras.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\vec{a} = (3, 4)$ dan $\vec{b} = (-1, 2)$ . Tentukan resultan $\vec{a} + \vec{b}$ dan besarnya.

$\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1),\ 4 + 2) = (2, 6)$ . Resultan berkomponen $(2, 6)$ — komponen- $x$ dijumlahkan dengan komponen- $x$ , komponen- $y$ dengan komponen- $y$ .

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32$ . Besar resultan selalu dihitung dengan Pythagoras dari komponennya.

Latih kecepatan menghitung besar vektor dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menghitung besar vektor dengan menjumlahkan komponen, $|\vec{a}| = a_x + a_y$ . Yang benar: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ — Pythagoras, karena komponen tegak lurus. Untuk $\vec{a} = (3, 4)$ , besarnya $5$ , bukan $7$ .

Jebakan: menambahkan besar dua vektor untuk dapat resultan, $|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ . Yang benar: jumlahkan komponen dulu, baru akarkan. Besar resultan bisa lebih kecil dari jumlah besar (bila kedua vektor berlawanan arah).

Vektor = besaran berbesar dan berarah; skalar = hanya berbesar.
Notasi $\vec{a} = (a_x, a_y)$ ; besar $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ (Pythagoras).
Penjumlahan: $\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x,\ a_y+b_y)$ ; geometris = aturan segitiga.
Kelipatan skalar: $k\,\vec{a} = (k\,a_x,\ k\,a_y)$ ; $k<0$ membalik arah.
Komponen negatif = ke kiri atau ke bawah; tanda menyimpan arah.