Fungsi Naik-Turun & Titik Stasioner — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menganalisis interval di mana fungsi naik atau turun lewat tanda turunan, serta menemukan titik maksimum dan minimum lokalnya.

Bayangkan kamu mendaki sebuah bukit dari kaki ke puncak lalu turun ke lembah di seberangnya. Sepanjang pendakian, kemiringan jalanmu positif (naik); sesampainya di puncak sesaat kamu berhenti (kemiringan nol); lalu kamu turun dengan kemiringan negatif. Turunan fungsinya persis begitu: tanda positif berarti naik, negatif berarti turun, dan nol menandai puncak atau dasar. Geser slider di bawah dan amati hubungan rapat antara tanda $f'$ dan arah gerak kurva $f$ .

Coba geser slider titik $x$ , dan perhatikan tanda $f'$ (positif/negatif) menentukan kurva naik atau turun.

Hubungan tanda f’ dengan arah kurva

Turunan pertama $f'(x)$ menyatakan laju perubahan fungsi di titik $x$ . Tandanya langsung memberitahu arah gerak kurva: positif berarti fungsi naik, negatif berarti turun, nol berarti sesaat mendatar.

$f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ naik}, \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ turun}$

Arti tiap simbol: $f'(x) > 0$ artinya kemiringan garis singgung positif (mengarah ke kanan-atas); $f'(x) < 0$ artinya kemiringan negatif (kanan-bawah); tanda turunan menyatakan arah perubahan nilai fungsi.

Pada plot di atas, kurva $f = x^3 - 3x$ (aksen1) punya turunan $f' = 3x^2 - 3$ (aksen2). Saat $x < -1$ , $f'$ positif sehingga $f$ naik; saat $-1 < x < 1$ , $f'$ negatif sehingga $f$ turun; saat $x > 1$ , $f'$ positif kembali sehingga $f$ naik lagi. Geser slider $x$ dan amati tanda $f'$ selalu konsisten dengan arah kurva $f$ .

Titik stasioner: di mana f’(x) = 0

Titik-titik di mana kemiringan garis singgung nol disebut titik stasioner. Di sini kurva sesaat mendatar — bisa jadi puncak (maksimum lokal), dasar (minimum lokal), atau titik belok mendatar. Mencarinya dilakukan dengan menyelesaikan persamaan $f'(x) = 0$ .

Titik stasioner adalah titik di mana $f'(x) = 0$ . Jenisnya ada tiga: maksimum lokal (puncak), minimum lokal (dasar), atau titik belok mendatar (kurva hanya menyentuh mendatar lalu meneruskan arahnya).

Pada plot di bawah, kurva $f = -x^2 + 4x - 1$ (aksen1) punya turunan $f' = -2x + 4$ (aksen2). Saat $x = 2$ , $f'$ memotong sumbu-x — itulah titik stasioner, dan ternyata puncak parabola. Slider $x$ bisa kamu geser; saat $x = 2$ gradien garis singgung nol.

Uji tanda kiri-kanan: maks atau min lokal

Menemukan titik stasioner saja belum cukup — kamu harus memastikan jenisnya. Caranya: periksa tanda $f'$ di kiri dan di kanan titik stasioner. Bila tanda berubah dari positif ke negatif, itu maksimum lokal (naik lalu turun). Bila dari negatif ke positif, itu minimum lokal (turun lalu naik). Bila tanda tidak berubah, itu titik belok mendatar.

$\text{maks lokal: } f' \text{ berubah } + \to -, \qquad \text{min lokal: } f' \text{ berubah } - \to +$

Arti tiap simbol: tandai dulu titik stasioner $a$ dari $f'(a)=0$ ; periksa nilai $f'(x)$ sedikit di kiri $a$ dan sedikit di kanan $a$ ; perubahan tanda menentukan jenis ekstrem.

Pada plot di bawah, kurva $f = x^3 - 3x$ (aksen1) punya turunan $f' = 3x^2 - 3$ (aksen2) dengan dua titik stasioner di $x = -1$ dan $x = 1$ . Di $x = -1$ , $f'$ berubah dari positif (kiri) ke negatif (kanan) — maksimum lokal. Di $x = 1$ , $f'$ berubah dari negatif ke positif — minimum lokal. Geser slider $xv$ melewati kedua titik itu dan amati perubahan tanda $f'$ .

Uji turunan kedua: jalan pintas

Cara lain menentukan jenis titik stasioner adalah memakai turunan kedua $f''(x)$ . Bila $f'(a) = 0$ dan $f''(a) < 0$ , maka $a$ adalah maksimum lokal (kurva cekung ke bawah). Bila $f'(a) = 0$ dan $f''(a) > 0$ , maka $a$ adalah minimum lokal (kurva cekung ke atas). Bila $f''(a) = 0$ , uji ini tidak menyimpulkan apa-apa — kembali ke uji tanda kiri-kanan.

$f'(a) = 0 \text{ dan } f''(a) < 0 \Rightarrow \text{maks lokal}; \qquad f'(a) = 0 \text{ dan } f''(a) > 0 \Rightarrow \text{min lokal}$

Arti tiap simbol: $f''(a)$ = turunan kedua di titik stasioner; tandanya menyatakan kecekungan kurva (cekung-bawah untuk maks, cekung-atas untuk min).

Pada plot di bawah, kurva $f = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ (aksen1) punya turunan pertama $f' = 6x^2 - 18x + 12$ (aksen2). Titik stasioner di $x = 1$ dan $x = 2$ . Turunan kedua $f'' = 12x - 18$ : $f''(1) = -6 < 0$ (maks lokal), $f''(2) = 6 > 0$ (min lokal).

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memintamu menentukan interval naik/turun suatu fungsi atau mencari nilai maksimum/minimum lokal (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: turunkan fungsinya, selesaikan $f'(x) = 0$ untuk titik stasioner, lalu uji tanda $f'$ di sekitarnya atau pakai turunan kedua untuk menentukan jenisnya.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan interval naik dan turun, lalu titik maksimum lokal dari $f(x) = x^3 - 3x + 1$ .

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$ . Titik stasioner: $3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ .

Untuk $x < -1$ (misal $x = -2$ ): $f'(-2) = 9 > 0$ (naik). Untuk $-1 < x < 1$ (misal $x = 0$ ): $f'(0) = -3 < 0$ (turun). Untuk $x > 1$ (misal $x = 2$ ): $f'(2) = 9 > 0$ (naik). Maka $f$ naik pada $x < -1$ dan $x > 1$ ; turun pada $-1 < x < 1$ .

Di $x = -1$ , $f'$ berubah dari positif ke negatif — maksimum lokal. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ . Jadi titik maksimum lokalnya $(-1, 3)$ .

Latih kecepatan mencari titik stasioner di bawah.

Jebakan: menyimpulkan bahwa setiap titik di mana $f'(x) = 0$ pasti maksimum atau minimum. Yang benar: bisa juga titik belok mendatar — periksa perubahan tanda $f'$ di kiri dan kanannya. Contoh klasik: $f(x) = x^3$ di $x = 0$ — $f'(0) = 0$ tapi $f'$ tidak berubah tanda, sehingga bukan ekstrem.

Jebakan: terbalik menyimpulkan jenis ekstrem dari uji turunan kedua. Yang benar: $f''(a) < 0$ = maksimum lokal (cekung-bawah, puncak); $f''(a) > 0$ = minimum lokal (cekung-atas, dasar). Cara mengingat: “min = plus” — minimum bersesuaian dengan $f''$ positif.

$f'(x) > 0 \Rightarrow$ fungsi naik; $f'(x) < 0 \Rightarrow$ fungsi turun.
Titik stasioner: $f'(x) = 0$ — bisa maks, min, atau titik belok mendatar.
Uji tanda kiri-kanan: $+$ ke $-$ = maks lokal; $-$ ke $+$ = min lokal.
Uji turunan kedua: $f''(a) < 0$ = maks; $f''(a) > 0$ = min.
Selalu periksa perubahan tanda $f'$ , bukan sekadar nilainya nol.