Gradien & Persamaan Garis Singgung — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di suatu titik dengan memakai turunan sebagai gradien.

Bayangkan sebuah roller coaster yang sedang meluncur. Di tiap titik lintasannya, ada satu garis lurus yang “baru saja menyentuh” rel tepat di situ — itulah garis singgung. Kemiringan garis itulah yang dirasakan penumpang sebagai curam atau landai. Kalau kamu tahu persamaan lintasannya, kamu sebenarnya sudah tahu kemiringan di titik mana pun: cukup turunkan fungsinya. Geser slider di bawah dan saksikan garis singgung menari menyusuri kurva, lengkap dengan persamaannya yang berubah live.

Coba geser slider titik $a$ , dan perhatikan garis singgung bergerak menyusuri kurva beserta persamaannya.

Turunan = gradien garis singgung

Garis singgung kurva $f$ di titik $(a, f(a))$ adalah garis lurus yang menyentuh kurva tepat di titik itu dan punya arah yang sama dengan kurva sesaat. Kemiringannya bukan ditentukan dengan menebak, melainkan dihitung dari turunan: gradien garis singgung di $x = a$ adalah $f'(a)$ .

$m_{\text{singgung}} = f'(a)$

Arti tiap simbol: $f'(a)$ = turunan fungsi $f$ yang dievaluasi di $x = a$ ; nilainya menyatakan laju perubahan sesaat, sekaligus kemiringan garis singgung di titik itu.

Pada plot di atas, kurva $f(x) = 0{,}5 x^2$ punya turunan $f'(x) = x$ . Maka di titik $x = a$ , gradien garis singgungnya $f'(a) = a$ . Saat $a = 2$ , gradiennya $2$ (curam naik); saat $a = -2$ , gradiennya $-2$ (curam turun); saat $a = 0$ , gradiennya $0$ (mendatar). Geser slider $a$ dan amati titik penanda gradien selalu sama dengan nilai $a$ .

Merakit persamaan garis singgung

Diketahui gradien $m = f'(a)$ dan titik singgung $(a, f(a))$ , persamaan garis lurus dirakit dengan rumus titik-gradien. Inilah satu-satunya alat yang kamu butuhkan.

$y - f(a) = f'(a)\,(x - a) \quad \Longleftrightarrow \quad y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$

Arti tiap simbol: $(a, f(a))$ = titik singgung; $f'(a)$ = gradien; substitusi keduanya ke rumus titik-gradien garis lurus.

Untuk kurva $f(x) = 0{,}5 x^2$ di titik $a$ : $f(a) = 0{,}5 a^2$ dan $f'(a) = a$ , sehingga persamaan garis singgungnya $y = a(x - a) + 0{,}5 a^2$ . Itulah kurva kedua (aksen2) pada plot di atas — saat kamu geser slider $a$ , persamaan garis itu diperbarui live.

Garis singgung mendatar: kapan f’(a) = 0

Kondisi khusus yang sering muncul di soal: garis singgung mendatar, artinya gradiennya nol. Ini terjadi tepat di titik-titik di mana $f'(a) = 0$ . Pada plot di bawah, slider $a$ bisa kamu geser ke titik manapun; saat $a$ tepat di puncak parabola, gradiennya nol dan garis singgung jadi mendatar sejajar sumbu-x.

Garis singgung mendatar menandai momen “berhenti berubah arah” — puncak bukit atau dasar lembah. Saat kamu mendaki lalu sesaat berhenti di puncak sebelum turun, kemiringan jalanmu nol sekejap. Itulah mengapa mencari titik puncak sering dikerjakan dengan menyelesaikan $f'(x) = 0$ .

Garis normal: tegak lurus singgung

Garis normal kurva di titik $(a, f(a))$ adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung di titik itu. Karena dua garis tegak lurus punya hasil kali gradien $-1$ , gradien garis normal adalah negatif-inverse dari gradien singgung.

$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)} \quad (f'(a) \neq 0)$

Arti tiap simbol: $m_{\text{normal}}$ = gradien garis normal; $f'(a)$ = gradien garis singgung; syarat $f'(a) \neq 0$ — bila $f'(a) = 0$ , garis normalnya vertikal (persamaan $x = a$ ).

Pada plot di bawah, kurva $f = x^2$ (aksen1) dengan garis singgung (aksen2) dan garis normal (netral) di titik yang sama. Geser slider $a$ dan perhatikan garis normal selalu memotong garis singgung dengan sudut siku-siku.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memintamu menentukan persamaan garis singgung kurva di titik tertentu, atau mencari titik di mana garis singgung sejajar suatu garis yang diketahui (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: hitung $f'(a)$ sebagai gradien, lalu substitusi ke rumus titik-gradien; untuk syarat “sejajar”, samakan gradien singgung dengan gradien garis yang dimaksud.

Gradien di tiap titik: hubungan f dengan f’

Satu cara memahami garis singgung adalah dengan membandingkan kurva $f$ dan kurva turunannya $f'$ . Untuk $f(x) = 0{,}5 x^2$ , turunannya $f'(x) = x$ . Pada plot di bawah, kurva atas $f$ (aksen1) dan kurva bawah $f'$ (aksen2) ditampilkan bersama; titik penanda pada $f'$ di $x = a$ menunjukkan gradien garis singgung $f$ di titik itu.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x) = x^3 - 2x$ di titik dengan absis $a = 1$ .

$f(1) = (1)^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ , jadi titik singgungnya $(1, -1)$ . Turunan $f'(x) = 3x^2 - 2$ , sehingga $f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 1$ . Gradien garis singgung $m = 1$ .

$y - f(a) = f'(a)(x - a) \Rightarrow y - (-1) = 1(x - 1)$ . Maka $y + 1 = x - 1$ , sehingga $y = x - 2$ . Itulah persamaan garis singgungnya.

Latih kecepatan merakit persamaan garis singgung di bawah.

Jebakan: mengira gradien garis singgung adalah nilai fungsi $f(a)$ . Yang benar: gradien garis singgung adalah turunan $f'(a)$ , yaitu laju perubahan sesaat di titik itu, bukan tinggi kurva. Nilai fungsi $f(a)$ hanya memberi koordinat titik singgungnya.

Jebakan: menulis persamaan garis singgung dengan rumus $y = f'(a)\,x + f(a)$ (lupa kurung titik). Yang benar: pakai rumus titik-gradien $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ , baru disusun ulang. Lupa $(x - a)$ akan menggeser garis dari titik singgungnya.

Gradien garis singgung kurva $f$ di $x = a$ adalah $f'(a)$ .
Persamaan garis singgung: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ — rumus titik-gradien.
Garis singgung mendatar saat $f'(a) = 0$ — tandanya puncak atau dasar.
Garis normal tegak lurus singgung: $m_{\text{normal}} = -1/f'(a)$ .
Untuk syarat “sejajar”, samakan $f'(a)$ dengan gradien garis yang dimaksud.