Aturan Turunan Dasar

Setelah ini kamu bisa menurunkan fungsi pangkat, konstanta, dan penjumlahan suku-suku dengan aturan praktis, tanpa harus memakai definisi limit tiap kali.

Menghitung turunan dari definisi limit $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ memang jujur, tapi lelah — untuk satu fungsi $x^2$ saja sudah beberapa baris aljabar. Bayangkan harus menurunkan $5x^7 + 3x^4 - 2x + 8$ lewat definisi setiap kali. Untunglah para matematikawan sudah mengerjakan pekerjaan berat itu sekali dan merangkumnya menjadi beberapa aturan pendek. Setelah hafal aturan ini, kamu menurunkan fungsi polinomial apa pun hanya dengan melihatnya. Geser slider di bawah dan saksikan aturan pangkat bekerja: eksponen melompat ke depan, pangkat dikurangi satu.

Coba geser slider pangkat $n$ , dan perhatikan kurva $f(x) = x^n$ dan turunannya $f'(x) = n x^{n-1}$ .

Aturan pangkat: eksponen turun ke depan

Aturan paling sering dipakai. Untuk fungsi $f(x) = x^n$ dengan $n$ bilangan real, turunannya adalah $f'(x) = n x^{n-1}$ . Cara mengingatnya: “eksponen turun ke depan sebagai pengali, lalu pangkat dikurangi satu”.

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

Arti tiap simbol: $n$ = pangkat asli; turunannya mengalikan dengan $n$ dan menurunkan pangkat jadi $n-1$ .

Pada plot di atas, kurva $f = x^n$ dan turunannya $f' = n x^{n-1}$ ditampilkan bersama. Saat $n = 2$ , turunannya $2x$ — garis lurus. Saat $n = 3$ , turunannya $3x^2$ — parabola. Geser slider $n$ dan amati titik $f'(1) = n$ selalu sama dengan pangkatnya — bukti aturan pangkat.

Aturan pangkat seperti resepsi tamu: tamu (eksponen) disambut di pintu depan (jadi pengali), lalu pindah kursi mundur satu langkah (pangkat dikurangi satu). Tamu $5$ yang duduk di pangkat $x^5$ jadi pengali $5$ dan pindah ke pangkat $x^4$ .

Aturan konstanta dan kelipatan konstanta

Konstanta tidak berubah terhadap $x$ , sehingga turunannya nol. Untuk fungsi $f(x) = c$ (konstanta), $f'(x) = 0$ . Lebih umum, konstanta bisa dikeluarkan dari turunan: $\dfrac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)$ .

$\frac{d}{dx} c = 0, \qquad \frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)$

Arti tiap simbol: turunan konstanta selalu nol; konstanta pengali boleh dikeluarkan keluar dari turunan.

Pada plot di bawah, kurva $f = a x^2$ (aksen1) punya turunan $f' = 2a x$ (aksen2). Saat koefisien $a$ dinaikkan, parabola makin kurus dan turunannya makin curam — konstanta pengali $a$ langsung keluar ke depan.

Aturan jumlah: turunkan suku demi suku

Turunan penjumlahan adalah penjumlahan turunan: $\dfrac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$ . Ini berarti kamu boleh menurunkan polinomial suku demi suku, masing-masing dengan aturan pangkat, lalu menjumlahkannya kembali. Untuk $f(x) = 5x^3 + 3x^2 - 2x + 8$ :

$f'(x) = 5(3x^2) + 3(2x) - 2(1) + 0 = 15x^2 + 6x - 2$

Perhatikan konstanta $8$ punya turunan nol, jadi hilang dari hasil.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memintamu menurunkan polinomial atau menentukan gradien garis singgung lewat turunan (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: turunkan suku demi suku dengan aturan pangkat; konstanta hilang; jangan lupa turunkan juga koefisien negatif.

Turunan polinomial: $f$ vs $f'$

Pada plot di bawah, sebuah polinomial dan turunannya ditampilkan bersama. Kurva $f$ (aksen1) naik-turun mengikuti perilaku polinomial; kurva $f'$ (aksen2) menunjukkan kemiringannya di tiap titik. Saat $f$ di puncak (mendatar), $f'$ memotong sumbu-x — yaitu kemiringan nol.

Pengaruh koefisien pada turunan

Pada plot terakhir ini, geser slider $a$ untuk mengubah koefisien suku $x^3$ dalam polinomial $f = a x^3 + x$ . Turunannya $f' = 3a x^2 + 1$ . Saat $a$ membesar, parabola kubik makin curam dan turunannya menjauhi nilai $1$ ; saat $a = 0$ , polinomial menyusut jadi garis lurus $f = x$ dengan turunan konstan $f' = 1$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan turunan $f(x) = 4x^5 - 6x^3 + 7x - 9$ .

Suku $4x^5$ : koefisien $4$ keluar, pangkat $5$ turun jadi $4$ , sehingga $4 \cdot 5 x^4 = 20x^4$ . Suku $-6x^3$ : $-6 \cdot 3x^2 = -18x^2$ .

Suku $7x = 7x^1$ : $7 \cdot 1 x^0 = 7$ . Suku konstanta $-9$ : turunannya $0$ (konstanta tak berubah terhadap $x$ ).

$f'(x) = 20x^4 - 18x^2 + 7 + 0 = 20x^4 - 18x^2 + 7$ . Perhatikan konstanta $-9$ hilang dari hasil karena turunannya nol.

Latih kecepatan menurunkan fungsi pangkat di bawah — kebiasaan yang menyelamatkan banyak waktu di ujian.

Jebakan: menurunkan $5x^3$ menjadi $5x^2$ (melupakan pengali pangkat). Yang benar: $5 \cdot 3 x^2 = 15x^2$ — eksponen 3 harus turun ke depan sebagai pengali terlebih dahulu, baru pangkat dikurangi satu.

Jebakan: mempertahankan suku konstanta di hasil turunan. Yang benar: turunan konstanta selalu nol, jadi konstanta hilang dari hasil. Misalnya turunan $3x^2 + 7$ adalah $6x$ , bukan $6x + 7$ .

Aturan pangkat: $\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$ — eksponen turun ke depan, pangkat dikurangi satu.
Aturan konstanta: $\dfrac{d}{dx} c = 0$ — konstanta hilang dari turunan.
Aturan kelipatan: $\dfrac{d}{dx}[c \cdot f] = c \cdot f'$ — konstanta pengali dikeluarkan.
Aturan jumlah: $\dfrac{d}{dx}[f + g] = f' + g'$ — turunkan suku demi suku.
Polinomial: turunkan tiap suku dengan aturan pangkat, jumlahkan; konstanta hilang.