Definisi Turunan: Limit Gradien Tali Busur

Setelah ini kamu bisa mendefinisikan turunan sebagai limit gradien tali busur yang menyempit, dan menghitung turunan sederhana lewat limit bentuk $h$ menuju nol.

Bayangkan kamu berdiri di satu titik pada sebuah jalan melengkung dan bertanya: seberapa curam jalan di titik ini? Karena kurva berbelok, tak ada satu kemiringan tetap. Triknya: tarik tali dari titikmu ke titik lain sedikit di depan — itulah tali busur dengan kemiringan rata-rata. Lalu rapkan titik kedua itu makin dekat hingga nyaris menyatu dengan titikmu. Pada batas itulah tali busur menjelma garis singgung, dan kemiringannya menjadi kemiringan kurva di satu titik. Geser slider di bawah, dan saksikan transformasi itu.

Coba geser slider $h$ makin kecil, dan perhatikan tali busur menempel menjadi garis singgung kurva.

Tali busur: kemiringan rata-rata antara dua titik

Untuk kurva $y = f(x)$ , pilih dua titik: $(a, f(a))$ dan $(a + h, f(a + h))$ , dengan $h$ sebuah perpindahan kecil. Garis lurus yang menghubungkan keduanya disebut tali busur, dan kemiringannya adalah gradien rata-rata perubahan fungsi pada interval itu.

$m_{\text{sekant}} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Arti tiap simbol: $f(a+h)-f(a)$ adalah perubahan nilai fungsi (naik), $h$ adalah perubahan $x$ (lari); bagi keduanya dapat gradien tali busur.

Pada plot utama, kurva $y = x^2$ dan titik tetap di $a = 1$ . Saat $h = 2$ , tali busur menghubungkan $(1,1)$ ke $(3,9)$ dengan gradien $\dfrac{9-1}{2} = 4$ . Saat $h$ mengecil, titik kedua makin dekat ke titik pertama dan kemiringan tali busur makin dekat ke nilai tertentu.

Garis singgung lahir saat $h$ menuju nol

Turunan adalah apa yang terjadi pada gradien tali busur saat titik kedua menyatu dengan titik pertama, yaitu saat $h$ menuju nol. Garis lurus itu berhenti menjadi tali busur dan menjadi garis singgung — garis yang hanya menyentuh kurva di satu titik dengan kemiringan yang sama persis.

Turunan fungsi $f$ di $a$ adalah $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ , bila limitnya ada. Nilai ini = gradien garis singgung kurva di titik $(a, f(a))$ .

Pada plot di bawah, slider $h$ mengecil dan gradien sekant (terbaca di label) menempel pada sebuah angka. Untuk $y = x^2$ di $a = 1$ , angka itu adalah $2$ — itulah $f'(1)$ .

Sekant vs garis singgung: bandingkan langsung

Cara terbaik merasakan kelahiran garis singgung adalah melihat tali busur dan garis singgung berdampingan. Pada plot di bawah, dua kurva yang sama dipajang: pada saat $h$ besar, garis potong (aksen negatif) jelas memotong kurva di dua tempat; pada saat $h$ mengecil, garis itu berputar dan akhirnya sejajar dengan garis singgung sesungguhnya (aksen positif) yang hanya menyentuh kurva di satu titik.

Turunan sebagai fungsi: kemiringan di tiap titik

Selama ini kita hitung turunan di satu titik $a$ . Padahal turunan bisa dihitung di setiap titik $x$ , sehingga menghasilkan sebuah fungsi turunan $f'(x)$ . Untuk $f(x) = x^2$ , definisi limit menghasilkan $f'(x) = 2x$ . Artinya, kemiringan parabola di titik manapun adalah dua kali nilai $x$ -nya: di $x = 1$ kemiringan $2$ , di $x = 2$ kemiringan $4$ , di $x = -1$ kemiringan $-2$ .

Turunan adalah “mesin kemiringan”. Masukkan titik $x$ , keluar berapa curam kurva di situ. Untuk parabola $x^2$ , makin kamu pergi ke kanan, makin curam — persis dua kali lipat posisimu. Inilah mengapa bola yang dilempar ke atas makin lama makin cepat saat jatuh: posisinya berbentuk parabola terhadap waktu.

Pada plot di bawah, geser slider $x$ sepanjang parabola dan baca kemiringannya. Nilainya selalu $2x$ — kalau kamu berada di $x = 1,5$ , kemiringannya $3$ .

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memintamu menentukan gradien garis singgung suatu kurva atau menghitung turunan dari definisi limit (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: turunan di titik $a$ adalah $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ; bila kamu sudah hafal rumus cepat, verifikasi jawaban dengan substitusi angka kecil $h$ untuk memastikan gradien yang kamu peroleh masuk akal.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Dengan definisi limit, tunjukkan bahwa turunan $f(x) = x^2$ di titik $x = 3$ adalah $6$ .

Definisi turunan: $f'(3) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h}$ . Hitung $f(3) = 3^2 = 9$ dan $f(3+h) = (3+h)^2$ .

$f'(3) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h + h^2}{h}$ .

Coret $h$ (untuk $h \neq 0$ ): $f'(3) = \displaystyle\lim_{h \to 0} (6 + h) = 6 + 0 = 6$ . Jadi turunan $f(x) = x^2$ di $x = 3$ adalah $6$ — sesuai rumus cepat $f'(x) = 2x$ yang memberi $2 \cdot 3 = 6$ .

Latih kecepatan menurunkan fungsi pangkat sederhana di bawah — kebiasaan yang menyelamatkan banyak waktu di ujian.

Jebakan: mengira garis singgung muncul saat titik kedua menjauh. Yang benar: garis singgung lahir saat titik kedua menyatu dengan titik pertama, yaitu saat $h$ menuju nol. Tali busur makin pendek, makin menyerupai garis singgung.

Jebakan: pada definisi turunan, menulis pembilang sebagai $f(a+h) + f(a)$ atau melupakan $-f(a)$ . Yang benar: pembilang adalah selisih nilai $f(a+h) - f(a)$ (perubahan nilai fungsi), baru dibagi $h$ .

Turunan $f'(a)$ = gradien garis singgung kurva di titik $(a, f(a))$ .
Definisi: $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ , jika limitnya ada.
Tali busur menghubungkan $(a,f(a))$ dan $(a+h, f(a+h))$ ; gradiennya $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
Saat $h$ menuju nol, tali busur menyempit menjadi garis singgung.
Untuk $f(x) = x^2$ , turunannya $f'(x) = 2x$ — kemiringan dua kali nilai $x$ .

Tali busur: kemiringan rata-rata antara dua titik

Garis singgung lahir saat hhh menuju nol

Sekant vs garis singgung: bandingkan langsung

Turunan sebagai fungsi: kemiringan di tiap titik

Garis singgung lahir saat $h$ menuju nol