Persamaan Trigonometri Dasar — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan persamaan $\sin x = k$ , $\cos x = k$ , dan $\tan x = k$ pada rentang tertentu serta menuliskan pola solusi umumnya.

Berapa banyak sudut yang sinusnya bernilai $0{,}5$ ? Banyak yang menjawab $30^\circ$ — itu benar, tapi hanya satu jawaban. Gelombang sinus berputar terus setiap $360^\circ$ , dan dalam satu putaran saja ia memotong garis $y = 0{,}5$ sebanyak dua kali (di $30^\circ$ dan $150^\circ$ ). Persamaan trigonometri jarang punya satu solusi; ia punya keluarga solusi yang berulang. Coba potong gelombangnya sendiri di bawah.

Geser garis horizontal $y = k$ dan amati semua titik potong dengan kurva $\sin x$ menyala dengan nilai sudutnya.

Mengapa persamaan trigonometri punya banyak solusi

Berbeda dari persamaan aljabar biasa, nilai fungsi trigonometri berulang setiap periode penuh. Sinus dan cosinus berperiode $2\pi$ (atau $360^\circ$ ), tangen berperiode $\pi$ (atau $180^\circ$ ). Akibatnya, bila $\sin x_0 = k$ , maka $\sin(x_0 + 2n\pi) = k$ juga untuk setiap bilangan bulat $n$ . Inilah mengapa solusi persamaan trigonometri selalu berupa himpunan tak hingga, kecuali bila diminta pada rentang terbatas.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari variabel yang dicari, misalnya $\sin x = k$ atau $2\cos x + 1 = 0$ . Solusinya berupa himpunan sudut yang memenuhi, sering dinyatakan dengan pola berulang tiap periode.

Menyelesaikan sin x = k

Pada lingkaran satuan, $\sin x$ adalah koordinat-y titik di keliling. Untuk nilai $k$ di antara $-1$ dan $1$ , ada tepat dua titik per putaran yang berkoordinat-y $k$ : satu di kuadran I atau II, satu lagi sebagai pantulannya. Dalam satu putaran $[0, 2\pi)$ , solusinya adalah $x_1 = \arcsin k$ dan $x_2 = \pi - \arcsin k$ .

$\sin x = k \;\Rightarrow\; x = \arcsin k \;\text{atau}\; x = \pi - \arcsin k, \quad |k| \le 1$

Arti tiap simbol: $\arcsin k$ = sudut acuan di $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ yang sinusnya $k$ ; solusi kedua $\pi - \arcsin k$ adalah pasangan di kuadran II (atau III bila $k$ negatif). Solusi umum menambahkan $2n\pi$ untuk setiap bilangan bulat $n$ .

Menyelesaikan cos x = k

Untuk cosinus, koordinat-x di lingkaran satuan. Dua titik per putaran yang berkoordinat-x $k$ adalah $x_1 = \arccos k$ dan $x_2 = -\arccos k$ (atau $2\pi - \arccos k$ ). Plot di bawah memvisualkan pemotongan gelombang cosinus — perhatikan dua solusi per periode yang simetris terhadap sumbu-y.

Geometri dua solusi

Mengapa dua solusi per putaran? Pada lingkaran satuan, satu nilai sinus menghasilkan dua titik: di kanan-kiri dari garis horizontal $y = k$ . Seret titik di lingkaran satuan di bawah untuk melihat dua posisi yang berkoordinat-y sama — keduanya adalah solusi $\sin x = k$ .

Pola solusi berulang

Karena fungsi trigonometri periodik, solusi berulang setiap periode. Untuk sinus dan cosinus, tambahkan $2n\pi$ (atau $360^\circ n$ ); untuk tangen, tambahkan $n\pi$ (atau $180^\circ n$ ). Plot di bawah menampilkan gelombang sinus yang terus berulang — setiap puncak dan lembah adalah solusi baru yang polanya sama.

Persamaan trigonometri dasar adalah bahan favorit TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar — tercakup dalam ragam fungsi). Soal kerap meminta semua solusi dalam rentang $0 \le x \le 2\pi$ , atau solusi umum dengan $+ n\cdot 360^\circ$ . Trik andalan: sketsa gelombang cepat di kertas untuk menghitung jumlah titik potong — lebih andal daripada menghafal rumus solusi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan semua solusi $\sin x = 0{,}5$ pada rentang $0 \le x \le 2\pi$ .

$\arcsin 0{,}5 = \dfrac{\pi}{6}$ (atau $30^\circ$ ). Sinus positif di kuadran I dan II.

$x_1 = \dfrac{\pi}{6}$ (kuadran I) dan $x_2 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ (kuadran II).

Cek: $\sin \dfrac{\pi}{6} = 0{,}5$ dan $\sin \dfrac{5\pi}{6} = 0{,}5$ . Kedua solusi dalam rentang $[0, 2\pi]$ . Jadi solusinya $x = \dfrac{\pi}{6}$ dan $x = \dfrac{5\pi}{6}$ .

Latih kecepatan menyelesaikan $\sin x = k$ di bawah.

Jebakan: hanya menuliskan satu solusi padahal ada dua per putaran. Yang benar: $\sin x = k$ biasanya punya dua solusi dalam $[0, 2\pi]$ — satu di kuadran I (atau IV bila $k$ negatif) dan satu lagi sebagai pantulannya. Sketsa gelombang mencegah kelupaan.

Jebakan: lupa memeriksa apakah nilai $k$ berada dalam rentang yang valid. Yang benar: $\sin x$ dan $\cos x$ hanya bernilai di $[-1, 1]$ . Bila soal meminta $\sin x = 2$ , jawabannya tidak ada solusi real — jangan dipaksakan dengan arcsin di luar domain.

Jebakan: memakai periode $360^\circ$ untuk solusi tangen. Yang benar: tangen berperiode $180^\circ$ (atau $\pi$ ), sehingga solusi umum tan x = k adalah $x_0 + n \cdot 180^\circ$ , bukan $n \cdot 360^\circ$ . Periode lebih pendek karena tangen adalah hasil bagi sinus dan cosinus.

$\sin x = k$ (dua solusi per putaran): $x = \arcsin k$ atau $x = \pi - \arcsin k$ , lalu $+ 2n\pi$ .
$\cos x = k$ (dua solusi per putaran): $x = \pm\arccos k$ , lalu $+ 2n\pi$ .
$\tan x = k$ : $x = \arctan k + n\pi$ (periode lebih pendek, $\pi$ ).
Solusi valid hanya bila $|k| \le 1$ untuk sinus dan cosinus.
Sketsa gelombang cepat membantu menghitung banyak solusi dalam rentang.