Grafik Sinus & Cosinus — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menggambar kurva $y = \sin x$ dan $y = \cos x$ dari putaran titik pada lingkaran satuan, serta membaca amplitudo dan periode keduanya.

Bayangkan seekor kunang-kunang yang berputar mengelilingi sebuah lingkaran dengan kecepatan tetap. Sekarang pasang kamera di samping lingkaran yang merekam ketinggian kunang-kunang saat ia berputar — lalu gulir rekaman itu menyamping seiring waktu. Jejak yang tertinggal adalah sebuah gelombang yang naik-turun mulus: itulah kurva sinus. Cara yang sama dengan lebar samping menghasilkan kurva kosinus. Geser slider di bawah, dan lihat sendiri gelombang itu lahir dari putaran sederhana.

Coba geser slider $t$ (sudut) dan perhatikan titik pada lingkaran satuan serta tingginya yang diplot menjadi kurva sinus.

Sinus: tinggi titik yang berputar

Di artikel lingkaran satuan, kamu belajar bahwa titik pada sudut $\theta$ berkoordinat $(\cos\theta, \sin\theta)$ . Sekarang, biarkan $\theta$ berjalan dari $0$ sampai $2\pi$ — satu putaran penuh. Setiap nilai $\sin\theta$ (koordinat tegak) diplot menyamping terhadap $\theta$ . Hasilnya adalah kurva yang dimulai dari $0$ , naik ke puncak $1$ saat $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ , turun kembali ke $0$ saat $\theta = \pi$ , terus ke lembah $-1$ saat $\theta = \tfrac{3\pi}{2}$ , dan kembali ke $0$ saat $\theta = 2\pi$ .

Fungsi sinus $y = \sin x$ memetakan setiap sudut $x$ ke koordinat tegak titik pada lingkaran satuan. Kurvanya berbentuk gelombang berulang dengan amplitudo $1$ dan periode $2\pi$ .

Kosinus: lebar titik yang berputar

Lakukan hal yang sama, tapi kali ini plot koordinat mendatar $\cos\theta$ terhadap $\theta$ . Kurva yang dihasilkan mirip sekali dengan sinus — bentuk gelombangnya sama persis — hanya saja dimulai dari nilai $1$ (bukan $0$ ) saat $\theta = 0$ . Bisa dikatakan kosinus adalah gelombang sinus yang sudah “dimajukan” seperempat putaran.

Sinus dan kosinus seperti dua saudara kembar yang beda fase. Saat sinus di puncak, kosinus sedang melewati nol menuju ke bawah — dan sebaliknya. Hubungan mereka: $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$ . Jadi kurva kosinus adalah kurva sinus yang digeser ke kiri sejauh $\tfrac{\pi}{2}$ .

Bandingkan kedua kurva pada plot di bawah. Geser slider $t$ dan amati: saat sin di puncak ( $t = \tfrac{\pi}{2}$ ), cos sedang di nol; saat cos di puncak ( $t = 0$ atau $2\pi$ ), sin sedang di nol. Keduanya berdetak dengan ritme yang sama, hanya berbeda awal.

Amplitudo dan periode

Dua ciri paling penting dari gelombang sinus dan kosinus adalah amplitudo dan periode.

$\text{Amplitudo} = 1, \quad \text{Periode} = 2\pi$

Arti tiap simbol: amplitudo = jarak puncak (atau lembah) dari sumbu-x; periode = panjang satu gelombang lengkap sebelum pola berulang.

Amplitudo $1$ berarti gelombang naik paling tinggi ke $1$ dan turun paling dalam ke $-1$ . Periode $2\pi$ berarti pola gelombang berulang setiap $2\pi$ radian — setelah satu putaran penuh lingkaran satuan, semuanya kembali seperti semula. Geser penanda di bawah sepanjang satu periode penuh dan lihat nilai di awal sama dengan nilai di akhir.

Jarum berputar meninggalkan jejak

Cara terbaik merasakan asal-usul gelombang adalah melihat jarum lingkaran satuan berputar sambil meninggalkan jejak. Segitiga di bawah membentuk jari-jari (sisi miring = 1) yang menghubungkan pusat ke titik sudut pada lingkaran satuan. Saat titik sudut berpindah melalui preset, bayangkan kertas berjalan ke kanan dan tingginya ( $\sin\theta$ ) tergores menjadi gelombang.

Grafik sinus dan kosinus adalah dasar pemodelan fenomena periodik di Matematika Tingkat Lanjut (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Aljabar). Banyak soal memintamu membaca nilai $\sin$ atau $\cos$ pada sudut tertentu langsung dari grafik, atau menentukan titik puncak dan akar gelombang. Hafalkan: puncak $\sin$ di $\tfrac{\pi}{2}$ , lembah di $\tfrac{3\pi}{2}$ , dan keduanya nol di $0, \pi, 2\pi$ . Untuk $\cos$ , posisinya tergeser seperempat putaran.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sketsakan satu periode kurva $y = \sin x$ untuk $0 \le x \le 2\pi$ , lalu tentukan titik puncak, lembah, dan titik potong sumbu-x.

Pada satu periode $[0, 2\pi]$ : $\sin 0 = 0$ , $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$ , $\sin\pi = 0$ , $\sin\tfrac{3\pi}{2} = -1$ , $\sin 2\pi = 0$ .

Hubungkan lima titik itu dengan kurva mulus berbentuk gelombang: naik dari $(0,0)$ ke puncak $(\tfrac{\pi}{2}, 1)$ , turun melewati $(\pi, 0)$ ke lembah $(\tfrac{3\pi}{2}, -1)$ , lalu naik kembali ke $(2\pi, 0)$ .

Puncak di $(\tfrac{\pi}{2}, 1)$ , lembah di $(\tfrac{3\pi}{2}, -1)$ ; amplitudo $= 1$ . Titik potong sumbu-x di $x = 0, \pi, 2\pi$ . Periode $= 2\pi - 0 = 2\pi$ .

Latih kecepatan membaca nilai sin dan cos pada sudut istimewa di bawah — kebiasaan yang menyelamatkan banyak waktu di ujian.

Jebakan: tertukar amplitudo dan periode — mengira amplitudo sin dan cos adalah $2\pi$ . Yang benar: amplitudo $= 1$ (jarak puncak dari sumbu-x), sedangkan $2\pi$ adalah periode (panjang satu gelombang lengkap).

Jebakan: mengira kurva cos berawal dari nilai $0$ seperti kurva sin. Yang benar: $\cos 0 = 1$ , jadi kurva cos berawal dari puncak $1$ , lalu turun. Kurva sin dan cos berbeda fase seperempat putaran ( $\tfrac{\pi}{2}$ ).

Jebakan: lupa bahwa nilai sin dan cos dibatasi antara $-1$ dan $1$ . Yang benar: karena titik berada pada lingkaran satuan berjari-jari $1$ , koordinatnya tidak pernah melebihi $1$ atau kurang dari $-1$ . Jadi amplitudo selalu $1$ untuk $\sin x$ dan $\cos x$ dasar.

Kurva $y = \sin x$ lahir dari tinggi titik yang berputar di lingkaran satuan.
Kurva $y = \cos x$ adalah gelombang yang sama, digeser kiri $\tfrac{\pi}{2}$ : $\cos x = \sin(x+\tfrac{\pi}{2})$ .
Amplitudo $\sin x$ dan $\cos x$ masing-masing $1$ (puncak $1$ , lembah $-1$ ).
Periode keduanya $2\pi$ — pola berulang setiap satu putaran penuh.
Puncak $\sin$ di $\tfrac{\pi}{2}$ , lembah di $\tfrac{3\pi}{2}$ ; puncak $\cos$ di $0$ dan $2\pi$ .