Rumus Jumlah & Selisih Sudut — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menurunkan dan memakai rumus $\sin(A\pm B)$ , $\cos(A\pm B)$ , dan $\tan(A\pm B)$ untuk menjumlahkan atau mengurangkan dua sudut.

Tahukah kamu bahwa $\sin 75^\circ$ bisa dihitung tanpa kalkulator — cukup dengan menyadari bahwa $75 = 30 + 45$ ? Kuncinya adalah rumus jumlah sudut: formula yang mengubah sinus dari penjumlahan dua sudut menjadi kombinasi sinus-kosinus yang nilainya sudah kamu hafal. Dengan tiga rumus utama $\sin(A\pm B)$ , $\cos(A\pm B)$ , dan $\tan(A\pm B)$ , kamu bisa membongkar sudut-sudut baru dari sudut istimewa yang sudah dikuasai. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret titik sudut pada segitiga di bawah, lalu perhatikan bagaimana jumlah sudut $A+B$ terbentuk saat dua sudut disatukan.

Mengapa butuh rumus jumlah sudut

Nilai trigonometri sudut istimewa seperti $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ sudah kamu hafal. Tapi bagaimana menghitung $\cos 15^\circ$ atau $\sin 105^\circ$ yang bukan sudut istimewa? Jawabannya: pecah sudut baru itu menjadi jumlah atau selisih dua sudut istimewa. Untuk itu dibutuhkan rumus yang menyatakan nilai trigonometri dari $A+B$ atau $A-B$ dalam nilai trigonometri $A$ dan $B$ saja.

Rumus jumlah-selisih sudut menyatakan nilai $\sin$ , $\cos$ , dan $\tan$ dari penjumlahan atau pengurangan dua sudut, sebagai kombinasi nilai trigonometri masing-masing sudut. Contoh: $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ .

Rumus sinus jumlah dan selisih

Rumus sinus jumlah dan selisih adalah gerbang ke semua rumus sudut majemuk lainnya.

$\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ $\sin(A-B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$

Arti tiap simbol: $A$ dan $B$ dua sudut apa pun (dalam radian atau derajat yang konsisten); perkalian $\sin A\cos B$ artinya nilai sinus $A$ dikali nilai kosinus $B$ . Tanda plus untuk penjumlahan, minus untuk selisih.

Cek numerik pada plot di bawah. Kurva $\sin(A+B)$ (aksen1) dan $\sin A\cos B+\cos A\sin B$ (aksen2) menumpuk sempurna saat slider $B$ digeser — keduanya adalah rumus yang sama, hanya dihitung berbeda. Geser $B$ dan amati kedua kurva selalu berimpit.

Rumus kosinus jumlah dan selisih

Mirip dengan sinus, tetapi perhatikan tanda: rumus jumlah memakai tanda minus di tengah, dan sebaliknya.

$\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$ $\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$

Arti tiap simbol: $A$ dan $B$ dua sudut; untuk kosinus, tanda operasi pada argumen berlawanan dengan tanda di tengah rumus — jangan tertukar dengan sinus.

Pola “tanda terbalik” ini muncul karena kosinus adalah turunan sinus yang sudah tergeser fase seperempat putaran. Verifikasi numerik pada plot di bawah: kurva $\cos(A-B)$ (aksen1) dan ekspansinya $\cos A\cos B+\sin A\sin B$ (aksen2) selalu berimpit.

Trik mengingat tanda: untuk sinus, tanda operasi argumen sama dengan tanda di tengah rumus (sin(A+B) pakai plus, sin(A-B) pakai minus). Untuk kosinus, terbalik: cos(A+B) pakai minus, cos(A-B) pakai plus. Singkatnya: sinus “sehat” (tanda sama), kosinus “terbalik”.

Rumus tangen jumlah dan selisih

Rumus tangen diturunkan dengan membagi rumus sinus dengan rumus kosinus, lalu menyederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $\cos A\cos B$ .

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B}, \quad \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B}$

Arti tiap simbol: $\tan A$ dan $\tan B$ adalah nilai tangen masing-masing sudut; penyebut $1 - \tan A\tan B$ (untuk jumlah) atau $1 + \tan A\tan B$ (untuk selisih). Syarat: penyebut tidak nol.

Sama seperti sinus, tanda pada argumen sama dengan tanda di tengah pembilang dan berlawanan dengan tanda pada penyebut. Kombinasi tanda inilah yang sering menjebak siswa.

Rumus jumlah-selisih adalah “bata” yang menyusun rumus sudut ganda, sudut paruh, dan perubahan hasil kali menjadi jumlah — semua tipe soal favorit TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar). Trik andalan: bila soal memuat sudut seperti $75^\circ$ , $15^\circ$ , atau $105^\circ$ , segera pecah menjadi $30+45$ , $45-30$ , atau $60+45$ , lalu terapkan rumus.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Hitunglah $\sin 75^\circ$ dengan memakai rumus jumlah sudut.

$75^\circ = 30^\circ + 45^\circ$ , keduanya sudut istimewa. Pakai $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ dengan $A=30^\circ$ , $B=45^\circ$ .

$\sin 30^\circ = 0{,}5$ , $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin 75^\circ = (0{,}5)(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + (\tfrac{\sqrt{3}}{2})(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) = \tfrac{\sqrt{2}}{4} + \tfrac{\sqrt{6}}{4} = \tfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ . Jadi $\sin 75^\circ = \tfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \approx 0{,}966$ .

Latih kecepatan menghitung $\sin(A+B)$ dengan sudut istimewa acak di bawah.

Jebakan: tertukar tanda pada rumus kosinus — mengira $\cos(A+B)$ memakai plus di tengah seperti sinus. Yang benar: kosinus “terbalik” — $\cos(A+B)$ memakai minus, $\cos(A-B)$ memakai plus.

Jebakan: menulis $\sin(A-B) = \sin A - \sin B$ atau $\cos(A+B) = \cos A + \cos B$ . Yang benar: rumus jumlah-selisih selalu memuat perkalian silang $\sin A\cos B$ dan $\cos A\sin B$ — tidak pernah penjumlahan langsung.

$\sin(A\pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$ (tanda tengah sama dengan tanda argumen).
$\cos(A\pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B$ (tanda tengah berlawanan dengan tanda argumen).
$\tan(A\pm B) = \dfrac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}$ .
Pecah sudut non-istimewa menjadi jumlah/selisih sudut istimewa, lalu terapkan rumus.
Trik tanda: sinus “sehat” (sama), kosinus “terbalik”.