Rumus Sudut Ganda — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menurunkan $\sin 2A$ , tiga bentuk $\cos 2A$ , dan $\tan 2A$ dari rumus jumlah sudut serta memakainya pada soal.

Bila kamu tahu $\sin 30^\circ = 0{,}5$ dan $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ , dapatkah kamu langsung menyebut $\sin 60^\circ$ tanpa menghafalnya? Tentu — karena $60 = 2 \times 30$ , dan rumus sudut ganda mengubah $\sin 2A$ menjadi $2\sin A\cos A$ , jadi $\sin 60^\circ = 2(0{,}5)(\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Rumus sudut ganda adalah kasus khusus rumus jumlah ketika kedua sudutnya sama, dan ia menjadi pintu untuk menyelesaikan berbagai persamaan trigonometri. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $A$ dan perhatikan dua kurva tumpang tindih: $\sin 2A$ (aksen1) dan $2\sin A\cos A$ (aksen2) yang selalu berimpit.

Sudut ganda: kasus khusus jumlah sudut

Rumus sudut ganda diturunkan langsung dari rumus jumlah dengan menetapkan $B = A$ . Sebab $A + A = 2A$ , semua rumus jumlah berubah menjadi rumus sudut ganda. Inilah mengapa menguasai rumus jumlah-selisih secara otomatis memberimu rumus sudut ganda tanpa hafalan baru.

Rumus sudut ganda menyatakan nilai $\sin 2A$ , $\cos 2A$ , dan $\tan 2A$ dalam nilai trigonometri $A$ saja. Diturunkan dari rumus jumlah dengan $B = A$ .

Sinus sudut ganda

Substitusi $B = A$ ke rumus $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ menghasilkan dua suku yang serupa, lalu dijumlahkan.

$\sin 2A = 2\sin A\cos A$

Arti tiap simbol: $\sin 2A$ = nilai sinus sudut $2A$ ; $\sin A$ dan $\cos A$ = nilai trigonometri sudut setengahnya. Rumus ini mengubah sinus sudut ganda menjadi perkalian silang sinus-kosinus sudut asal.

Pada plot pembuka, kedua kurva $\sin 2A$ dan $2\sin A\cos A$ berimpit sempurna untuk semua $A$ — verifikasi visual bahwa rumus ini berlaku universal. Perhatikan juga bahwa periode $\sin 2A$ adalah $\pi$ (setengah dari periode $\sin A$ yang $2\pi$ ), karena sudutnya dilipatgandakan.

Kosinus sudut ganda: tiga bentuk

Substitusi $B = A$ ke $\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$ menghasilkan $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$ . Lalu, dengan memakai identitas Pythagoras $\sin^2 A = 1-\cos^2 A$ atau $\cos^2 A = 1-\sin^2 A$ , lahir dua bentuk lain yang berguna tergantung konteks soal.

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$

Arti tiap simbol: $\cos 2A$ = nilai kosinus sudut ganda. Tiga bentuk ekuivalen; pilih yang paling cocok dengan data soal — bila diketahui $\cos A$ , pakai $2\cos^2 A-1$ ; bila diketahui $\sin A$ , pakai $1-2\sin^2 A$ .

Pada plot di bawah, tiga kurva — $\cos^2 A - \sin^2 A$ , $2\cos^2 A-1$ , dan $1-2\sin^2 A$ — selalu berimpit menjadi satu jejak tunggal, membuktikan ketiga bentuk itu identik.

Memiliki tiga bentuk $\cos 2A$ seperti memiliki tiga kunci untuk pintu yang sama. Soal memberimu satu informasi — katakan $\sin A = \tfrac{3}{5}$ — dan pintu yang ingin kamu buki adalah $\cos 2A$ . Pilih kunci yang sesuai: bentuk $1-2\sin^2 A$ langsung memakai $\sin A$ yang diketahui, sehingga tak perlu mencari $\cos A$ dulu.

Tangen sudut ganda

Substitusi $B = A$ ke rumus tangen jumlah memberi bentuk paling ringkas. Penyebutnya menjadi $1-\tan^2 A$ .

$\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$

Arti tiap simbol: $\tan 2A$ = nilai tangen sudut ganda; pembilang $2\tan A$ dua kali tangen sudut asal; penyebut $1-\tan^2 A$ wajib tidak nol (jadi $\tan A \neq \pm 1$ , atau $A \neq \pm 45^\circ$ ).

Kurva $\tan 2A$ (aksen1) dan $\dfrac{2\tan A}{1-\tan^2 A}$ (aksen2) pada plot di bawah selalu berimpit kecuali di titik-titik singular (asimtot) tempat penyebut nol. Di sanalah rumus tidak terdefinisi — pengingat bahwa setiap rumus punya syarat domain.

Sudut 2A di lingkaran satuan

Secara geometris, sudut $2A$ di lingkaran satuan berarti jarum berputar dua kali lebih jauh dari posisi sudut $A$ . Poligon beraturan di bawah menyimulasikan lingkaran satuan; membayangkan dua jarum — satu di sudut $A$ , satu di sudut $2A$ — mengilustrasikan mengapa periode fungsi sudut ganga menjadi setengahnya.

Rumus sudut ganda muncul hampir di setiap paket TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar) — entah untuk menyederhanakan bentuk, menyelesaikan persamaan trigonometri, atau menurunkan rumus sudut paruh. Trik andalan: bila diketahui $\cos A$ , gunakan $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ ; bila diketahui $\sin A$ , gunakan $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ . Memilih bentuk yang tepat menghemat banyak langkah.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\cos A = \tfrac{3}{5}$ dengan $A$ sudut lancip. Tentukan $\sin 2A$ dan $\cos 2A$ .

$\sin^2 A = 1-\cos^2 A = 1-\tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}$ . Karena $A$ lancip, $\sin A = \tfrac{4}{5}$ .

$\sin 2A = 2\sin A\cos A = 2(\tfrac{4}{5})(\tfrac{3}{5}) = \tfrac{24}{25}$ .

$\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 = 2(\tfrac{9}{25}) - 1 = \tfrac{18}{25}-1 = -\tfrac{7}{25}$ . Jadi $\sin 2A = \tfrac{24}{25}$ dan $\cos 2A = -\tfrac{7}{25}$ .

Latih kecepatan menghitung $\cos 2A$ dari $\cos A$ acak di bawah.

Jebakan: menulis $\sin 2A = 2\sin A$ atau $\cos 2A = 2\cos A$ — mengira sudut ganda cukup mengali nilai dengan dua. Yang benar: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$ dan $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$ — selalu memuat perkalian silang atau selisih kuadrat, bukan kelipatan langsung.

Jebakan: salah memilih bentuk $\cos 2A$ , sehingga harus mencari nilai lain dulu. Yang benar: pilih bentuk yang langsung memakai data yang diketahui — bila diketahui $\cos A$ pakai $2\cos^2 A - 1$ , bila diketahui $\sin A$ pakai $1 - 2\sin^2 A$ .

$\sin 2A = 2\sin A\cos A$ .
$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ .
$\tan 2A = \dfrac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ .
Diturunkan dari rumus jumlah dengan $B = A$ .
Pilih bentuk $\cos 2A$ yang sesuai data: $\cos A$ diketahui → $2\cos^2 A - 1$ ; $\sin A$ diketahui → $1 - 2\sin^2 A$ .