Aturan Sinus — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa memakai aturan sinus untuk mencari sisi atau sudut segitiga sembarang, dan menjelaskan mengapa rasio $\dfrac{a}{\sin A}$ selalu konstan untuk satu segitiga.

Pythagoras hanya jalan bila ada sudut siku-siku. Tapi segitiga sungguhan di lapangan — sebidang tanah, posisi dua kapal, jalur penerbangan — jarang begitu murah hati. Saat segitiga miring serong, kamu butuh aturan sinus: rasio antara setiap sisi dengan sinus sudut di hadapannya ternyata selalu sama untuk satu segitiga. Coba seret titik sudut di bawah dan amati ketiga rasio itu mengunci ke satu angka yang sama.

Seret ketiga titik sudut segitiga dan perhatikan rasio $a/\sin A$ , $b/\sin B$ , $c/\sin C$ selalu bernilai sama.

Dari ketinggian ke perbandingan

Bila kamu menarik garis tinggi dari sudut $C$ ke sisi $AB$ , terbentuk dua segitiga siku-siku. Dalam segitiga pertama, tinggi $h = b \sin A$ ; dalam segitiga kedua, tinggi yang sama $h = a \sin B$ . Karena keduanya menyatakan tinggi yang sama, kamu peroleh $b \sin A = a \sin B$ , yang dapat disusun ulang menjadi inti aturan sinus.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Arti tiap simbol: $a$ , $b$ , $c$ = panjang sisi di hadapan sudut $A$ , $B$ , $C$ berturut-turut. Ketiga rasio ini selalu sama untuk satu segitiga apa pun, tak peduli bentuknya. Inilah yang membuat aturan sinus berlaku universal untuk segitiga sembarang.

Tiga rasio, satu angka

Pada segitiga di widget pembuka, ketiga rasio $a/\sin A$ , $b/\sin B$ , $c/\sin C$ menampilkan angka yang identik meskipun kamu menyusun ulang titik. Konstanta ini bukan kebetulan — ia lahir dari cara tinggi segitiga bisa dinyatakan lewat dua sisi berbeda sekaligus.

Plot di bawah memvisualkan ketiga rasio sebagai tiga kurva saat sudut $A$ berubah. Garis horizontal menandai nilai konstan — ketiga kurva menempel padanya.

Bayangkan ketiga rasio itu sebagai tiga jendela berbeda yang menghadap ruangan yang sama. Lewat jendela pertama kamu lihat $a/\sin A$ , lewat jendela kedua $b/\sin B$ , lewat jendela ketiga $c/\sin C$ . Pemandangan di baliknya identik — semua menunjuk ke konstanta yang sama, yaitu diameter lingkaran luar segitiga.

Rahasia di balik konstanta: lingkaran luar

Konstanta $a/\sin A$ ternyata bukan angka acak. Ia sama persis dengan diameter lingkaran luar segitiga, yaitu $2R$ dengan $R$ jari-jari lingkaran luar. Inilah mengapa rumusnya sering ditulis $a = 2R \sin A$ . Saat segitiga berubah, lingkaran luarnya ikut berubah ukuran, sehingga $2R$ berubah — tapi untuk satu segitiga, tetap satu konstanta.

Seret segitiga di bawah dan amati lingkaran luar menyesuaikan diri sambil nilai $2R$ menyamai rasio $a/\sin A$ .

Kapan pakai aturan sinus

Aturan sinus paling cocok dipakai ketika kamu mengetahui pasangan sisi-sudut berhadapan. Tiga situasi khas: (1) dua sudut dan satu sisi diketahui — sisanya langsung terhitung; (2) dua sisi dan satu sudut di hadapan salah satunya diketahui; (3) soal kontekstual seperti mengukur jarak dua titik tak terjangkau dari sudut elevasi.

Pilih aturan sinus saat sudut dan sisi yang diketahui “berhadapan” — misalnya tahu sudut $A$ dan sisi $a$ di hadapannya. Bila yang diketahui justru dua sisi dan sudut apit di antaranya, beralihlah ke aturan cosinus.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Pada segitiga $ABC$ , diketahui $A = 40^\circ$ , $B = 75^\circ$ , dan $a = 10$ . Tentukan panjang $b$ .

$C = 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ$ . Tidak dipakai langsung di sini, tapi memastikan segitiga konsisten.

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ , sehingga $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A} = \dfrac{10 \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ}$ .

$\sin 75^\circ \approx 0{,}966$ , $\sin 40^\circ \approx 0{,}643$ . Maka $b \approx \dfrac{10 \times 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$ . Jadi $b \approx 15{,}0$ satuan panjang.

Latih kecepatan menghitung sisi dengan aturan sinus di bawah.

Jebakan: mencampur derajat dan radian saat memasukkan sudut ke kalkulator. Yang benar: pastikan kalkulator di mode yang sesuai — derajat untuk soal derajat, radian untuk radian. Nilai $\sin 40^\circ$ (mode DEG) berbeda total dari $\sin 40$ (mode RAD).

Jebakan: memakai aturan sinus saat yang diketahui dua sisi dan sudut apit. Yang benar: konfigurasi itu butuh aturan cosinus. Aturan sinus memerlukan pasangan sisi-sudut berhadapan; bila tidak ada, hasilnya tidak langsung.

Jebakan: lupa kasus ambigu saat diketahui dua sisi dan satu sudut tidak-apit (SSA). Yang benar: konfigurasi SSA bisa menghasilkan nol, satu, atau dua segitiga valid tergantung panjang sisi. Selalu verifikasi jawaban dengan cek geometris.

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ untuk segitiga apa pun.
Konstanta rasio sama dengan diameter lingkaran luar, $2R$ .
Cocok untuk kasus AAS/ASA (dua sudut, satu sisi) atau SSA (dua sisi, sudut berhadapan).
Bila diketahui dua sisi dan sudut apit, ganti ke aturan cosinus.
Hati-hati kasus ambigu SSA: bisa ada nol, satu, atau dua solusi.