Aturan Cosinus — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa memakai aturan cosinus untuk mencari sisi ketiga atau sudut segitiga sembarang, dan menjelaskan mengapa rumusnya merupakan perumuman Pythagoras.

Pythagoras bekerja sempurna untuk segitiga siku-siku: $a^2 = b^2 + c^2$ . Tapi bagaimana bila sudut apitnya bukan $90^\circ$ ? Ternyata rumus itu hanya kehilangan satu suku tambahan — sebuah koreksi $-2bc\cos A$ yang tergantung sudut apit. Saat sudut $90^\circ$ , $\cos 90^\circ = 0$ dan suku koreksi hilang, sehingga rumus runtuh kembali menjadi Pythagoras. Coba buka-tutup sudut apit di bawah dan lihat sendiri rumus umum menyusut jadi yang sudah kamu hafal.

Seret titik sudut apit untuk membuka-tutup sudut $A$ dan amati sisi ketiga $a$ berubah panjang.

Dari Pythagoras ke rumus umum

Bila sudut apit antara sisi $b$ dan $c$ adalah sudut siku-siku, Pythagoras memberi $a^2 = b^2 + c^2$ . Saat sudut apit bukan $90^\circ$ , sisi ketiga $a$ tidak lagi memenuhi rumus itu — perlu koreksi yang bergantung pada sudut apit $A$ . Koreksi inilah yang menjadi inti aturan cosinus.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

Arti tiap simbol: $a$ = sisi di hadapan sudut apit $A$ ; $b$ dan $c$ = dua sisi yang mengapit sudut $A$ . Suku $-2bc\cos A$ adalah koreksi terhadap Pythagoras. Bila $A = 90^\circ$ , $\cos A = 0$ dan suku koreksi hilang.

Tiga wajah rumus yang sama

Aturan cosinus bisa ditulis dalam tiga bentuk simetris, satu untuk setiap sudut. Pilih yang sesuai dengan sudut yang kamu cari atau diketahui.

Bentuk	Untuk mencari	Diketahui
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	sisi $a$ atau sudut $A$	$b$ , $c$ , dan $A$ (atau $a$ , $b$ , $c$ )
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$	sisi $b$ atau sudut $B$	$a$ , $c$ , dan $B$ (atau $a$ , $b$ , $c$ )
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$	sisi $c$ atau sudut $C$	$a$ , $b$ , dan $C$ (atau $a$ , $b$ , $c$ )

Plot di bawah memvisualkan rumus $a^2$ sebagai fungsi sudut apit $A$ . Garis horizontal menandai $b^2 + c^2$ (nilai Pythagoras murni). Kurva $a^2$ menempel padanya tepat di $A = 90^\circ$ , dan turun di bawahnya saat sudut lancip, naik di atasnya saat sudut tumpul.

Mencari sudut: rumus cosinus dibalik

Bila ketiga sisi diketahui dan kamu ingin mencari salah satu sudut, susun ulang rumusnya untuk mengisolasi $\cos$ . Misalnya dari $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ , peroleh:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Inilah jalan paling andal untuk kasus SSS (tiga sisi diketahui). Setelah $\cos A$ diperoleh, sudut $A$ didapat dengan fungsi invers kosinus.

Suku $-2bc\cos A$ bekerja seperti “penyempurna Pythagoras”. Saat sudut apit mengecil (lancip), $\cos A$ positif sehingga suku koreksi negatif — sisi $a$ lebih pendek dari ramalan Pythagoras. Saat sudut melebar (tumpul), $\cos A$ negatif sehingga koreksi menjadi positif — sisi $a$ lebih panjang. Tepat di $90^\circ$ koreksi nol, dan Pythagoras kembali berkuasa.

Mengapa memilih cosinus, bukan sinus

Aturan cosinus wajib dipakai dalam dua situasi: (1) dua sisi dan sudut apit di antaranya diketahui (SAS), dan (2) ketiga sisi diketahui (SSS). Konfigurasi SAS tidak bisa dipecahkan aturan sinus karena tidak ada pasangan sisi-sudut berhadapan. Seret segitiga di bawah untuk membayangkan dua sisi dengan sudut apit yang membentuk sisi ketiga.

Ingat pasangan: aturan sinus untuk sisi-sudut berhadapan (AAS, ASA, SSA); aturan cosinus untuk sudut apit (SAS) atau tiga sisi (SSS). Bila soal memberi dua sisi dan sudut di antara keduanya, cosinus adalah sahabatmu. Bila memberi dua sudut dan satu sisi, sinus yang menang.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Pada segitiga $ABC$ , diketahui $b = 7$ , $c = 5$ , dan sudut apit $A = 60^\circ$ . Tentukan panjang $a$ .

Karena diketahui dua sisi $b$ , $c$ dan sudut apit $A$ , pakai $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ .

$a^2 = 7^2 + 5^2 - 2(7)(5)\cos 60^\circ = 49 + 25 - 70 \times 0{,}5 = 74 - 35 = 39$ .

$a = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ . Jadi $a \approx 6{,}24$ satuan panjang.

Latih kecepatan menghitung sisi dengan aturan cosinus di bawah.

Jebakan: menulis aturan cosinus dengan tanda plus di depan suku koreksi. Yang benar: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ . Tanda minus wajib; bila plus, hasilnya meleset terutama saat sudut tumpul.

Jebakan: memakai aturan sinus untuk kasus SAS atau SSS. Yang benar: konfigurasi SAS (dua sisi, sudut apit) dan SSS (tiga sisi) membutuhkan aturan cosinus. Aturan sinus hanya untuk konfigurasi dengan pasangan sisi-sudut berhadapan (AAS, ASA, SSA).

Jebakan: lupa mengkuadratkan sisi atau lupa mengakarkan di akhir. Yang benar: rumus bicara tentang $a^2$ , jadi setelah menghitung nilai kanan, ambil akar untuk mendapatkan $a$ . Membandingkan langsung $a$ dengan $b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ adalah kesalahan dimensi.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (dan bentuk simetris untuk $b$ , $c$ ).
Runtuh menjadi Pythagoras saat sudut apit $A = 90^\circ$ .
Untuk kasus SSS, balik rumus: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ .
Pakai cosinus untuk SAS (dua sisi, sudut apit) dan SSS (tiga sisi).
Tanda minus di suku koreksi wajib; jangan tertukar plus.