Amplitudo, Periode & Pergeseran Fase — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membaca amplitudo, periode, pergeseran fase, dan pergeseran tegak dari bentuk $y = A\sin(b(x-c))+d$ .

Suara dengungan listrik di rumahmu berdetak lima puluh kali per detik, dan tinggi rendahnya nada bisa kamu kecilkan atau besarkan dengan tombol volume. Gelombang sinus punya empat kenop yang sama: seberapa tinggi ia melompat, seberapa rapat ulangannya, kapan ia dimulai, dan di garis berapa ia berputar. Empat angka A, b, c, d pada $y = A\sin(b(x-c))+d$ persis empat kenop itu. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider A, b, c, d dan perhatikan gelombang berubah tinggi, rapat, posisi, dan garis tengahnya.

Empat parameter, satu gelombang

Bentuk umum fungsi sinusoidal di Matematika Tingkat Lanjut adalah $y = A\sin(b(x-c))+d$ . Tiap huruf mengendalikan satu ciri gelombang: $A$ mengatur tinggi, $b$ mengatur rapat, $c$ menggeser secara mendatar, dan $d$ menggeser secara tegak. Membaca keempatnya dari rumus berarti membaca seluruh perilaku gelombang.

Fungsi sinusoidal bentuk umum $y = A\sin(b(x-c))+d$ memetakan gelombang sinus yang sudah diubah ukuran dan posisinya. Amplitudo = $|A|$ , periode = $\dfrac{2\pi}{|b|}$ , pergeseran fase = $c$ , pergeseran tegak = $d$ .

Amplitudo: seberapa tinggi melompat

Amplitudo adalah jarak puncak (atau lembah) dari garis tengah gelombang. Karena $\sin x$ dasar berosilasi antara $-1$ dan $1$ , mengalikannya dengan $A$ membuat rentangnya menjadi $-A$ sampai $A$ . Jadi puncaknya $d+A$ dan lembahnya $d-A$ .

$\text{Amplitudo} = |A|, \quad \text{puncak} = d + A, \quad \text{lembah} = d - A$

Arti tiap simbol: $A$ = koefisien pengali di depan sinus; tanda mutlak karena amplitudo selalu positif; $d$ = garis tengah (pergeseran tegak).

Pada plot di bawah, geser slider $A$ sementara parameter lain tetap. Puncak gelombang naik dan lembah turun menjauhi garis tengah $d=0$ . Perhatikan bahwa mengubah $A$ tidak menggeser gelombang mendatar dan tidak mengubah rapat ulangannya — amplitudo cuma soal tinggi.

Amplitudo seperti tombol volume. Nada (frekuensi) tetap, tapi nyanyiannya makin lantang saat amplitudo membesar. A negatif tidak membuat gelombang jadi “negatif tinggi” — tanda mutlak $|A|$ yang berlaku, hanya saja gelombangnya terbalik (puncak jadi lembah dan sebaliknya).

Periode: seberapa rapat berulang

Periode adalah panjang satu gelombang lengkap sebelum pola berulang. Pada $\sin x$ dasar periodenya $2\pi$ . Mengalikan variabel $x$ dengan $b$ mempercepat atau memperlambat putaran: $b=2$ berarti dalam rentang $2\pi$ yang sama gelombang menyelesaikan dua putaran, jadi periodenya menjadi $\pi$ .

$\text{Periode} = \frac{2\pi}{|b|}$

Arti tiap simbol: $b$ = koefisien pengali pada variabel $x$ ; tanda mutlub karena periode selalu positif; periode kecil = gelombang rapat, periode besar = gelombang renggang.

Geser slider $b$ pada plot di bawah. Saat $b$ membesar, gelombang makin rapat — lebih banyak puncak dalam rentang yang sama. Saat $b$ mengecil menuju nol, gelombang melebar. Hubungannya berbanding terbalik: periode = $2\pi$ dibagi $b$ .

Pergeseran fase dan tegak: kapan dan di mana

Dua parameter terakhir menggeser gelombang tanpa mengubah bentuknya. Pergeseran fase $c$ menggeser seluruh gelombang ke kanan bila $c$ positif (atau ke kiri bila negatif) — karena $x$ dikurangi $c$ dulu sebelum disinuskan. Pergeseran tegak $d$ mengangkat (atau menurunkan) garis tengah gelombang bersama seluruh osilasinya.

Pada plot di bawah, $A$ dan $b$ dikunci pada 1. Geser $c$ dan amati gelombang meluncur mendatar tanpa berubah bentuk; geser $d$ dan amati seluruh gelombang naik-turun sejajar. Nilai $c$ menentukan di mana gelombang “mulai”, dan $d$ menentukan di garis berapa ia berosilasi.

Pergeseran fase seperti memajukan atau memundurkan start lari. Pelarinya sama (gelombangnya sama), tapi ia mulai lari dari garis yang sudah dimajukan — semua kejadiannya terjadi lebih awal atau lebih lambat. Pergeseran tegak seperti memindahkan lintasan lari ke lantai atas atau bawah: seluruh perlombaan berpindah tinggi, tapi ritmenya tidak berubah.

Asal-usul amplitudo di lingkaran satuan

Amplitudo sebenarnya adalah jari-jari lingkaran tempat titik berputar menyusun gelombang. Pada $\sin x$ dasar, titik berputar di lingkaran berjari-jari $1$ sehingga amplitudonya $1$ . Membesarkan $A$ sama dengan membesarkan jari-jari lingkaran itu — tinggi jejak gelombang ikut membesar. Poligon beraturan di bawah menyimulasikan lingkaran berjari-jari $A$ ; perhatikan bahwa tinggi titiknya tidak pernah melebihi $A$ .

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar) kerap memberikan grafik dan memintamu menulis rumusnya, atau sebaliknya memberi rumus dan meminta amplitudo serta periode. Triknya: amplitudo = setengah jarak puncak-lembah; periode = jarak dua puncak berurutan; lalu selesaikan $b$ dari $2\pi/b$ ; garis tengah = rata-rata puncak dan lembah.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $y = 3\sin(2x) + 1$ . Tentukan amplitudo, periode, garis tengah, puncak, dan lembahnya.

Bandingkan dengan $y = A\sin(b(x-c))+d$ . Di sini $A = 3$ , $b = 2$ , $c = 0$ , $d = 1$ .

Amplitudo $= |A| = 3$ . Periode $= \dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ .

Garis tengah $= d = 1$ . Puncak $= d + A = 1 + 3 = 4$ . Lembah $= d - A = 1 - 3 = -2$ . Jadi amplitudo $3$ , periode $\pi$ , garis tengah $y=1$ , puncak $4$ , lembah $-2$ .

Latih kecepatan membaca amplitudo dan periode dari rumus acak di bawah — hitung di kertas, lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: menganggap amplitudo bisa negatif ketika A negatif. Yang benar: amplitudo selalu $|A|$ (non-negatif); nilai $A$ negatif hanya membalik gelombang sehingga puncak menjadi lembah dan sebaliknya.

Jebakan: tertukar antara pergeseran fase $c$ dan pergeseran tegak $d$ . Yang benar: $c$ menggeser gelombang mendatar (karena mengurangi $x$ di dalam argumen), sedangkan $d$ mengangkat atau menurunkan seluruh gelombang (di luar fungsi sinus).

Bentuk umum: $y = A\sin(b(x-c))+d$ dengan amplitudo $|A|$ , periode $2\pi/|b|$ , pergeseran fase $c$ , pergeseran tegak $d$ .
Amplitudo = jarak puncak/lembah dari garis tengah; periode = panjang satu gelombang.
Puncak $= d+A$ , lembah $= d-A$ , garis tengah $= d$ .
Membesarkan $b$ memperapat gelombang; $b$ mengecil memperlebar.
$c$ menggeser mendatar, $d$ menggeser tegak — keduanya tak mengubah bentuk.