Komposisi Transformasi = Perkalian Matriks

Setelah ini kamu bisa menggabungkan dua transformasi matriks lewat perkalian matriks dan menjelaskan kenapa urutan perkalian menentukan hasil akhir.

Pakai kemeja baru dulu lalu jas, hasilnya berbeda dengan jas dulu lalu kemeja — urutan berpengaruh. Hal yang sama berlaku pada transformasi: putar dulu baru cermin, hasilnya tidak selalu sama dengan cermin dulu baru putar. Ternyata kedua urutan itu bisa dirangkum sebagai perkalian dua matriks — dan seperti perkalian matriks pada umumnya, urutan tidak boleh ditukar seenaknya. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba bandingkan dua preset urutan komposisi dan amati posisi akhir persegi yang berbeda.

Menggabungkan dua transformasi

Bayangkan kamu menerapkan transformasi $A$ dulu, lalu transformasi $B$ pada hasilnya. Titik $\vec{v}$ pertama menjadi $A\vec{v}$ , lalu $B$ bekerja padanya menjadi $B(A\vec{v})$ . Karena perkalian matriks asosiatif, $B(A\vec{v}) = (BA)\vec{v}$ . Artinya kedua langkah bisa disatukan menjadi satu matriks hasil kali $BA$ — itulah komposisi transformasi.

$\text{Komposisi (A lalu B)}: \quad \vec{v} \xrightarrow{A} A\vec{v} \xrightarrow{B} B(A\vec{v}) = (BA)\vec{v}$

Arti tiap simbol: $A$ = transformasi pertama yang dikenakan; $B$ = transformasi kedua yang bekerja pada hasil $A$ ; $BA$ = matriks tunggal yang mewakili seluruh rangkaian, hasil kali matriks $B$ dengan $A$ .

Urutan penulisan agak menjebak: walau kamu “melakukan $A$ dulu”, matriks gabungannya ditulis $BA$ (yang kanan bekerja lebih dulu). Ingat saja: matriks yang bekerja paling akhir menempati posisi paling kiri.

Urutan berpengaruh: $BA \neq AB$

Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif — $BA$ tidak selalu sama dengan $AB$ . Akibatnya, urutan dua transformasi biasanya menghasilkan bayangan akhir yang berbeda. Pada widget utama, matriks gabungan “rotasi lalu refleksi” $F_x \cdot R_{90} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ berbeda dengan “refleksi lalu rotasi” $R_{90} \cdot F_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ — dua entri yang berbeda tanda, dua bayangan berbeda.

Komposisi transformasi $A$ lalu $B$ adalah transformasi tunggal yang matriksnya $BA$ . Karena perkalian matriks umumnya tak komutatif, $BA \neq AB$ sehingga urutan transformasi menentukan hasil akhir.

Cek sendiri dua hasil kali matriks pada bangun di bawah: preset pertama menghitung $F_x R_{90}$ , preset kedua menghitung $R_{90} F_x$ , dan preset ketiga selisihnya $(F_x R_{90}) - (R_{90} F_x)$ sebagai matriks bukan nol — bukti bahwa keduanya memang berbeda.

Pengecualian: komposisi yang komutatif

Tidak semua komposisi berurutan berbeda. Dilatasi adalah pengecualian: dua dilatasi dengan skala $k_1$ dan $k_2$ selalu komutatif, karena matriks skalar kelipatan identitas dapat dikomutasi. Hasil keduanya adalah dilatasi skala $k_1 \cdot k_2$ .

Komutatifitas komposisi = pertanyaan apakah $BA = AB$ . Untuk dua refleksi atau refleksi+rotasi, jawabannya biasanya tidak. Untuk dua dilatasi (matriks skalar) atau dua rotasi dengan sudut dijumlahkan, jawabannya ya. Membaca jenis transformasi sudah memberi petunjuk apakah urutan aman ditukar.

Pada bangun di bawah, komposisi dilatasi skala 2 lalu skala 3 menghasilkan skala 6 — sama persis dengan skala 3 lalu skala 2. Bandingkan dengan widget sebelumnya: di situ urutan rotasi-refleksi menghasilkan dua bangun berbeda.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering menyuruh menentukan matriks tunggal dari dua transformasi berurutan, atau menanyakan apakah dua urutan menghasilkan bayangan sama. Triknya: kalikan kedua matriks dalam urutan yang benar (yang terakhir kerja di kiri), lalu bandingkan entri-entrinya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan komposisi transformasi pada elemen Geometri dan Pengukuran.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ (regangan) dan $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (refleksi garis $y = x$ ). Tentukan matriks tunggal komposisi ” $A$ lalu $B$ ”, lalu tentukan bayangan titik $(1, 2)$ oleh komposisi itu.

Komposisi ” $A$ lalu $B$ ” berarti $A$ bekerja dulu, lalu $B$ . Matriks tunggalnya adalah $BA$ — matriks yang bekerja terakhir menempati posisi paling kiri.

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

$(BA)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Jadi bayangannya $(6, 2)$ .

Latih kecepatan menghitung satu entri hasil kali dua matriks dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menulis komposisi ” $A$ lalu $B$ ” sebagai $AB$ . Yang benar: $A$ bekerja dulu pada vektor, lalu $B$ , sehingga matriks tunggalnya $BA$ — matriks yang bekerja paling akhir menempati posisi paling kiri.

Jebakan: mengira semua komposisi transformasi komutatif karena “hasilnya kan transformasi juga”. Yang benar: perkalian matriks umumnya tak komutatif, jadi $BA \neq AB$ kecuali untuk pasangan tertentu (dua dilatasi, dua rotasi). Selalu hitung hasil kalinya sebelum menyimpulkan sama.

Komposisi transformasi ” $A$ lalu $B$ ” = satu matriks $BA$ ; yang bekerja terakhir di kiri.
Perkalian matriks umumnya tak komutatif: $BA \neq AB$ sehingga urutan menentukan hasil.
Komposisi rotasi-refleksi biasanya menghasilkan dua bayangan berbeda.
Komposisi dua dilatasi skala $k_1, k_2$ komutatif: hasilnya skala $k_1 \cdot k_2$ .
Matriks identitas $I$ netral: $IA = AI = A$ .

Menggabungkan dua transformasi

Urutan berpengaruh: BA≠ABBA \neq ABBA=AB

Pengecualian: komposisi yang komutatif

Urutan berpengaruh: $BA \neq AB$