Matriks sebagai Mesin Transformasi — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyatakan rotasi, refleksi, dan dilatasi sebagai perkalian matriks $2 \times 2$ terhadap sebuah bangun di bidang koordinat.

Bayangkan sebuah stempel karet berbentuk persegi. Kamu bisa membaliknya, memutarnya, atau meregangkannya — dan setiap aksi itu ternyata bisa dirangkum sebagai empat angka dalam sebuah kotak matriks $2 \times 2$ . Empat angka, satu mesin yang mengubah seluruh bentuk. Coba pilih matriks di galeri di bawah, dan lihat persegi itu berubah seketika.

Coba klik tiap preset matriks dan amati bagaimana persegi satuan langsung terputar, terbalik, atau teregang.

Matriks sebagai mesin pengubah titik

Sebuah matriks $2 \times 2$ adalah mesin yang memetakan titik $(x, y)$ ke titik baru $(x', y')$ lewat perkalian matriks-kolom:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$

Arti tiap simbol: $a, b, c, d$ = empat entri matriks; $(x, y)$ = titik asal; $(x', y')$ = titik bayangan hasil perkalian.

Empat angka $a, b, c, d$ menentukan seluruh perilaku mesin. Untuk membentuk bayangan sebuah bangun, kamu cukup menerapkan matriks yang sama ke setiap titik sudutnya. Karena bangun terdiri dari titik-titik, hasilnya adalah bangun baru yang seluruhnya berubah serempak.

Matriks transformasi linear $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ memetakan setiap titik $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ke bayangan $M\vec{v} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$ . Bangun ditransformasi dengan mengalikan tiap titik sudutnya.

Refleksi: bertukar tanda komponen

Refleksi terhadap sumbu- $x$ membalik komponen $y$ setiap titik dan membiarkan $x$ . Matriksnya cukup memberi tanda minus pada entri $y$ : $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Cek titik $(1, 1)$ : bayangannya $(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1,\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1) = (1, -1)$ — tepat pantulannya terhadap sumbu- $x$ .

Pada bangun di bawah, tiap preset adalah matriks refleksi yang berbeda: terhadap sumbu- $x$ , sumbu- $y$ , dan garis $y = x$ . Perhatikan bangun hanya berbalik, tanpa berubah ukuran.

Rotasi: pertukaran komponen yang rapi

Rotasi $90^\circ$ berlawanan jarum jam mengubah $(x, y)$ menjadi $(-y, x)$ — komponen ditukar dengan satu tanda minus. Matriksnya $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Cek $(1, 0)$ : bayangannya $(0, 1)$ , persis titik yang tadinya di kanan sumbu- $x$ naik ke atas sumbu- $y$ .

Rotasi $180^\circ$ cukup memberi minus pada keduanya: $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Matriks ini mengirim tiap titik ke titik yang berlawanan tepat melalui titik asal.

Dilatasi: skala kedua sumbu

Dilatasi dengan faktor skala $k$ mengalikan kedua komponen titik dengan $k$ , sehingga matriksnya $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ . Skala $2$ membuat persegi dua kali lebih besar; skala $0{,}5$ mengecilkannya jadi setengah. Bangun berubah ukuran tetapi bentuk (proporsi) tetap sama.

Pikirkan tiap kolom matriks sebagai gambar vektor satuan. Kolom pertama $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ adalah ke mana sumbu- $x$ pergi; kolom kedua $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ adalah ke mana sumbu- $y$ pergi. Membaca dua kolom matriks seperti membaca peta: di sanalah sumbu-sumbu baru mendarat setelah transformasi.

Pada bangun di bawah, tiga preset dilatasi memperlihatkan efek skala $2$ , skala $0{,}5$ , dan regangan horizontal murni (skala $x$ saja). Bandingkan luas sebelum dan sesudah — regangan horizontal melipatgandakan luas sebanyak faktor skalanya.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memberikan sebuah matriks lalu menanyakan bayangan sebuah titik atau bangun. Triknya: kalikan matriks dengan vektor kolom titik; untuk bangun, ulangi ke tiap titik sudut. Hafalkan matriks standar (refleksi sumbu- $x$ , rotasi $90^\circ$ , dilatasi $k$ ) — kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan transformasi geometri pada elemen Geometri dan Pengukuran.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui matriks $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Tentukan bayangan titik $A(1, 2)$ dan titik $B(-1, 1)$ oleh $M$ , lalu sketsakan kedua bayangan itu.

Titik $A(1, 2)$ menjadi $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ , dan titik $B(-1, 1)$ menjadi $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Bentuk kolom inilah yang siap dikalikan matriks dari kiri.

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Jadi $A'(4, 6)$ .

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Jadi $B'(-1, 3)$ . Sketsa: tandai $A'$ di kanan atas dan $B'$ di kiri atas bidang koordinat.

Latih kecepatan menghitung bayangan titik oleh sebuah matriks dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menulis titik sebagai baris, bukan kolom, sehingga perkaliannya jadi $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} M$ yang salah. Yang benar: titik disusun sebagai vektor kolom $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , dan matriks mengalikan dari kiri: $M \vec{v}$ .

Jebakan: mengira matriks refleksi terhadap sumbu-x adalah $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Yang benar: refleksi sumbu- $x$ membalik $y$ , jadi minus ada di entri kanan-bawah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Matriks dengan minus di kiri-atas adalah refleksi sumbu- $y$ .

Matriks $2 \times 2$ adalah mesin yang memetakan titik $\vec{v}$ ke bayangan $M\vec{v}$ .
Bangun ditransformasi dengan mengalikan tiap titik sudutnya oleh matriks yang sama.
Refleksi sumbu- $x$ = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ; sumbu- $y$ = $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Rotasi $90^\circ$ = $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ; dilatasi skala $k$ = $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ .
Baca dua kolom matriks: kolom pertama tujuan sumbu- $x$ baru, kolom kedua tujuan sumbu- $y$ baru.