Mencerminkan & Meregangkan Grafik Fungsi

Setelah ini kamu bisa menjelaskan efek $-f(x)$ , $f(-x)$ , $a \cdot f(x)$ , dan $f(bx)$ pada bentuk grafik fungsi.

Bayangkan grafik fungsi sebagai karet yang bisa kamu paksa: balik ke bawah, balik ke samping, regangkan ke atas, atau tekan menyamping. Empat operasi kecil — satu tanda minus di luar, satu tanda minus di dalam, satu pengali di luar, satu pengali di dalam — melakukan persis hal itu. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $a$ dan amati kurva meregang tegak lalu memantul ke bawah saat $a$ melintasi nol.

Refleksi vertikal: $-f(x)$

Tempel tanda minus di luar fungsi, $y = -f(x)$ , dan seluruh grafik terpantul terhadap sumbu- $x$ . Apa yang tadinya di atas turun ke bawah; apa yang di bawah naik ke atas. Bentuknya sama persis, hanya posisinya yang terbalik secara tegak.

Pada parabola $y = x^2$ yang terbuka ke atas, memberi tanda minus mengubahnya menjadi $y = -x^2$ yang terbuka ke bawah — puncaknya berpindah dari paling bawah ke paling atas. Inilah refleksi vertikal paling sederhana.

Refleksi vertikal $y = -f(x)$ memantulkan grafik terhadap sumbu- $x$ : setiap titik $(x, y)$ berubah menjadi $(x, -y)$ .

Geser slider $r$ dari $1$ ke $-1$ di bawah dan saksikan parabola membalik arah pembukaannya saat melintasi garis datar.

Refleksi horizontal: $f(-x)$

Sekarang tempel tanda minus di dalam fungsi, $y = f(-x)$ . Efeknya mengejutkan: grafik terpantul terhadap sumbu- $y$ . Apa yang di kiri pindah ke kanan, dan sebaliknya. Untuk fungsi simetris seperti $x^2$ , pantulannya berimpit dengan aslinya (karena $(-x)^2 = x^2$ ). Tapi untuk fungsi tak simetris seperti $x^3$ , pantulannya benar-benar berbeda.

Pikirkan $f(-x)$ seperti membaca cermin: kamu mengganti masukan $x$ dengan lawannya $-x$ , sehingga seluruh gambar terbalik secara horizontal. Fungsi genap (simetris sumbu- $y$ ) tidak berubah; fungsi ganjil (simetris titik asal) justru berbalik tanda.

Pada plot di bawah, dua kubik $x^3$ (aksen1) dan $(-x)^3 = -x^3$ (aksen2) saling memantul terhadap sumbu- $y$ — fungsi ganjil, jadi pantulannya tepat negatif dari aslinya.

Dilatasi vertikal: $a \cdot f(x)$

Mengalikan seluruh fungsi dengan sebuah konstanta $a$ , $y = a \cdot f(x)$ , meregangkan atau mengepitkan grafik secara vertikal. Kalau $|a| > 1$ , kurva meregang tegak — puncak menjauhi sumbu- $x$ . Kalau $0 < |a| < 1$ , kurva mengepit — puncak mendekati sumbu- $x$ . Kalau $a$ negatif, sekalian meregang dan memantul vertikal.

$y = a \cdot f(x)$

Arti tiap simbol: $a$ = faktor skala vertikal ( $|a|>1$ regang, $0<|a|<1$ kepit, $a<0$ regang+balik), $f$ = fungsi dasar, $x$ = variabel bebas.

Kamu sudah mencoba ini pada widget utama: slider $a$ meregangkan parabola tegak saat $|a|$ membesar. Inti dilatasi vertikal: tinggi tiap titik dikalikan $a$ , tetapi posisi mendatarnya tidak berubah.

Dilatasi horizontal: $f(bx)$

Yang paling menjebak adalah saat pengali berada di dalam fungsi, $y = f(bx)$ . Sekarang grafik diregang atau dikepit secara horizontal — dan seperti halnya translasi horizontal, arahnya terasa terbalik. Kalau $|b| > 1$ , kurva mengepit menyamping (terlihat makin sempit); kalau $0 < |b| < 1$ , kurva meregang menyamping (terlihat makin lebar).

Bentuk	Efek vertikal	Efek horizontal
$-f(x)$	Pantul terhadap sumbu- $x$	Tak berubah
$f(-x)$	Tak berubah	Pantul terhadap sumbu- $y$
$a \cdot f(x)$ , $	a	>1$
$f(bx)$ , $	b	>1$

Geser slider $b$ di bawah dan perhatikan parabola mengepit dan meregang menyamping — puncaknya tetap di tempat, tapi lebarnya berubah.

Soal UTBK Pengetahuan Kuantitatif dan TKA sering menampilkan grafik hasil transformasi lalu menanyakan nilai $a$ atau $b$ . Triknya: bandingkan titik istimewa grafik hasil dengan grafik dasar. Kalau tinggi titiknya berlipat, itu $a$ ; kalau posisi mendatarnya terjepit, itu $b$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan transformasi fungsi sebagai cakupan resmi untuk jalur Matematika Tingkat Lanjut.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Parabola $y = x^2$ ditransformasi menjadi $y = -2x^2$ . Jelaskan urutan dua transformasi yang terjadi, lalu tentukan koordinat titik hasil untuk $x = 3$ .

Bentuk $-2x^2$ bisa dibaca sebagai $-2 \cdot (x^2)$ , yaitu dua transformasi sekaligus: faktor skala vertikal $a = 2$ (regang tegak dua kali) dan refleksi vertikal karena tanda minus di luar.

Karena pengali $-2$ menempel di luar, kedua efek bekerja pada arah vertikal sekaligus: tiap nilai $f(x)$ dikalikan $-2$ . Hasilnya parabola meregang dua kali lipat tegak sekaligus terbuka ke bawah.

Substitusi $x = 3$ : $y = -2(3)^2 = -2 \cdot 9 = -18$ . Jadi titik hasilnya $(3, -18)$ . Bandingkan dengan titik dasar $(3, 9)$ — tingginya dua kali lipat dan tandanya berlawanan.

Latih kecepatan membaca koefisien transformasi dari kurva hasil dengan angka acak di bawah.

Jebakan: melihat $f(bx)$ dengan $b > 1$ lalu menyimpulkan grafik meregang menyamping. Yang benar: pengali di dalam bekerja terbalik — $|b| > 1$ justru mengepit grafik menyamping, dan $0 < |b| < 1$ yang meregang.

Jebakan: tertukar antara refleksi $-f(x)$ dan $f(-x)$ . Yang benar: minus di luar ( $-f(x)$ ) memantul terhadap sumbu- $x$ (vertikal); minus di dalam ( $f(-x)$ ) memantul terhadap sumbu- $y$ (horizontal).

$-f(x)$ memantulkan grafik terhadap sumbu- $x$ (refleksi vertikal).
$f(-x)$ memantulkan grafik terhadap sumbu- $y$ (refleksi horizontal).
$a \cdot f(x)$ meregang tegak saat $|a| > 1$ , mengepit saat $0 < |a| < 1$ .
$f(bx)$ mengepit menyamping saat $|b| > 1$ , meregang saat $0 < |b| < 1$ .
Tanda minus di luar vs di dalam menentukan arah refleksi: sumbu- $x$ vs sumbu- $y$ .

Refleksi vertikal: −f(x)-f(x)−f(x)

Refleksi horizontal: f(−x)f(-x)f(−x)

Dilatasi vertikal: a⋅f(x)a \cdot f(x)a⋅f(x)

Dilatasi horizontal: f(bx)f(bx)f(bx)

Refleksi vertikal: $-f(x)$

Refleksi horizontal: $f(-x)$

Dilatasi vertikal: $a \cdot f(x)$

Dilatasi horizontal: $f(bx)$