Menggeser Grafik: f(x)+k dan f(x−h)

Setelah ini kamu bisa menjelaskan efek $f(x)+k$ dan $f(x-h)$ pada grafik fungsi dan menentukan arah pergeserannya.

Bayangkan grafik fungsi sebagai stensil yang bisa kamu geser di atas kertas. Menggesernya ke atas-turun atau ke kiri-kanan tidak mengubah bentuknya, hanya posisinya. Dua konstanta kecil, $k$ dan $h$ , bekerja persis seperti tangan yang menarik stensil itu. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $k$ dan $h$ , lalu perhatikan bagaimana kurva bergeser tanpa berubah bentuk.

Geser vertikal: $f(x)+k$

Menambah konstanta di luar fungsi, $y = f(x)+k$ , menggeser seluruh grafik sejajar dengan sumbu- $y$ . Kalau $k$ positif, grafik naik sebesar $k$ ; kalau $k$ negatif, grafik turun. Bentuknya tidak berubah sedikit pun — hanya dipindahkan ke atas atau ke bawah.

Translasi vertikal sebesar $k$ mengubah $y = f(x)$ menjadi $y = f(x)+k$ . Tanda $k$ menentukan arah: positif naik, negatif turun.

Pada parabola $y = x^2$ tadi, puncak awalnya di $(0,0)$ . Setelah diberi $+k$ , puncaknya pindah ke $(0,k)$ — tepat nilai $k$ itu sendiri. Inilah cara paling cepat membaca translasi vertikal: lihat kemana titik istimewa berpindah secara tegak.

Geser horizontal: $f(x-h)$

Hal yang lebih mengejutkan terjadi ketika konstanta diletakkan di dalam fungsi, $y = f(x-h)$ . Sekarang grafik bergeser sejajar dengan sumbu- $x$ . Tapi arahnya terasa terbalik: kalau $h$ positif, grafik justru geser ke kanan; kalau $h$ negatif, geser ke kiri.

Bandingkan dengan lift yang menunggu di lantai 3. Kalau kamu ingin lift datang ke lantai 5, kamu “memajukan” panggilannya dua lantai — sama seperti $f(x-h)$ yang “memajukan” masukannya agar hasilnya muncul lebih awal di sebelah kanan.

Coba geser slider $h$ di bawah: parabola meluncur menyamping tanpa berubah bentuk, dan puncaknya selalu berakhir di $(h, 0)$ .

Merangkai keduanya: $f(x-h)+k$

Sekarang gabungkan keduanya. Bentuk $y = f(x-h)+k$ menggeser grafik sebesar $h$ secara horizontal dan $k$ secara vertikal, sekaligus. Urutannya bebas — keduanya bekerja independen.

$y = f(x - h) + k$

Arti tiap simbol: $f$ = fungsi asal, $h$ = besar geseran horizontal (kanan bila $h > 0$ ), $k$ = besar geseran vertikal (naik bila $k > 0$ ).

Pada parabola, puncak yang semula di $(0,0)$ kini pindah ke $(h, k)$ — satu titik membaca sekaligus kedua translasi. Atur kedua slider berikut dan amati puncaknya meluncur ke mana pun kamu perintahkan.

Jebakan tanda $h$

Bagian inilah yang paling sering menjebak. Dalam $y = f(x-h)$ , tanda minus sudah menjadi bagian dari rumus. Jadi kalau kamu melihat $y = f(x-3)$ , maka $h = 3$ dan grafik geser ke kanan sejauh 3. Tapi kalau yang muncul $y = f(x+3)$ , kamu harus menulisnya kembali sebagai $f(x - (-3))$ , sehingga $h = -3$ dan grafik geser ke kiri sejauh 3.

Tabel banding berikut merangkum keduanya supaya tidak tertukar lagi.

Bentuk fungsi	Nilai $h$	Arah geser
$f(x - 3)$	$h = 3$	Ke kanan 3 satuan
$f(x + 3)$	$h = -3$	Ke kiri 3 satuan
$f(x) - 2$	$k = -2$	Turun 2 satuan
$f(x) + 2$	$k = 2$	Naik 2 satuan

Buktikan sendiri dengan menggeser slider berikut. Tantangannya: setiap preset sudah dipilih untuk membuat kamu tergoda salah menebak arah. Tarik titik puncak pada parabola pengguna sampai menimpa target.

Aplikasi: parabola ke bentuk puncak

Bentuk $y = a(x-h)^2 + k$ disebut bentuk puncak parabola, karena puncaknya langsung terbaca di $(h, k)$ . Inilah kekuatan translasi fungsi: dengan melengkapkan kuadrat, kamu mengubah bentuk umum $y = ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk puncak, dan puncak parabola muncul begitu saja tanpa rumus $-b/2a$ .

Di TKA dan UTBK, soal sering memberi grafik parabola bergeser dan menanyakan nilai $h$ atau $k$ -nya. Triknya: baca puncak parabola — absisnya adalah $h$ , ordinatnya adalah $k$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan transformasi fungsi sebagai cakupan resmi untuk jalur Matematika Tingkat Lanjut.

Geser slider berikut dan lihat puncak parabola menari mengikuti $(h, k)$ yang kamu atur — itulah inti bentuk puncak.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Parabola $y = x^2$ digeser sehingga puncaknya pindah ke $(-2, 3)$ . Tulis persamaan parabola hasil translasi dalam bentuk puncak, lalu tentukan letak titik potong sumbu- $y$ -nya.

Puncak parabola hasil translasi berada di $(h, k) = (-2, 3)$ . Jadi $h = -2$ dan $k = 3$ .

Masukkan $h$ dan $k$ ke $y = (x - h)^2 + k$ . Karena $h = -2$ , maka $x - h = x - (-2) = x + 2$ . Persamaannya menjadi $y = (x + 2)^2 + 3$ .

Titik potong sumbu- $y$ terjadi saat $x = 0$ . Substitusi: $y = (0 + 2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$ . Jadi titik potong sumbu- $y$ adalah $(0, 7)$ .

Jebakan: melihat $f(x+3)$ lalu menyimpulkan grafik geser ke kanan 3 satuan. Yang benar: tanda plus di dalam berarti $h$ negatif, jadi $f(x+3) = f(x - (-3))$ dan grafik geser ke kiri 3 satuan.

Jebakan: mengira $f(x)+k$ menggeser grafik horizontal. Yang benar: konstanta di luar fungsi menggeser grafik secara vertikal; geseran horizontal selalu datang dari konstanta di dalam fungsi, $f(x-h)$ .

$f(x)+k$ menggeser grafik vertikal: positif naik, negatif turun.
$f(x-h)$ menggeser grafik horizontal: positif ke kanan, negatif ke kiri.
Tanda minus sudah jadi bagian rumus — $f(x+3)$ berarti $h=-3$ (kiri).
Bentuk puncak $y = a(x-h)^2 + k$ membaca puncak langsung di $(h, k)$ .
Translasi tidak mengubah bentuk grafik, hanya posisinya.

Geser vertikal: f(x)+kf(x)+kf(x)+k

Geser horizontal: f(x−h)f(x-h)f(x−h)