Menyelesaikan SPLTV: Eliminasi & Substitusi — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode eliminasi dan substitusi bertahap.

Di kantin, 3 roti dan 2 teh harganya Rp17.000; 1 roti dan 4 teh Rp15.000; dan 2 roti dengan 1 teh Rp10.000. Tiga informasi, tiga variabel: harga roti, harga teh, dan satu besaran lain. Menghadapi tiga persamaan sekaligus terasa rumit, tetapi strategi sederhana menyelesaikannya: kurangi variabelnya satu per satu sampai tersisa satu. Dua metode andalan — eliminasi dan substitusi — menjadi pisau yang kamu pakai. Coba lihat sendiri di bawah bagaimana tiga garis bertemu di satu titik solusi.

Geser slider $a$ dan $b$ , lalu amati titik temu ketiga garis — itulah solusi SPLTV.

Strategi: reduksi variabel bertahap

SPLTV terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel ( $x$ , $y$ , $z$ ). Tidak mungkin diselesaikan sekaligus — kamu harus mereduksi variabelnya satu per satu. Tujuan tiap langkah: gabungkan dua persamaan untuk menghapus satu variabel, hingga akhirnya tersisa satu persamaan satu variabel yang mudah dipecahkan. Dua metode utama: eliminasi (menyamakan koefisien lalu mengurangkan) dan substitusi (mengisolasi satu variabel lalu menempelkannya ke persamaan lain).

Eliminasi adalah metode menyelesaikan sistem persamaan dengan menyamakan koefisien salah satu variabel pada dua persamaan, lalu mengurangkan kedua persamaan sehingga variabel itu hilang. Substitusi adalah metode mengisolasi satu variabel dari sebuah persamaan, lalu menempelkan hasilnya ke persamaan lain.

Secara geometris, mengeliminasi satu variabel dari dua persamaan berarti mencari “bayangan” perpotongan dua bidang menjadi satu garis. Begitu satu variabel diketahui, kamu kembali menjejaki variabel lainnya.

Eliminasi: samakan koefisien

Langkah pertama eliminasi: pilih satu variabel yang akan dihilangkan (biasanya yang paling mudah disamakan koefisiennya). Kalikan setiap persamaan dengan konstanta yang sesuai agar koefisien variabel itu sama (atau berlawanan tanda) di kedua persamaan. Lalu kurangkan — variabel itu hilang, menyisakan persamaan dua variabel.

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \end{cases} \;\xrightarrow{\text{eliminasi } z}\; A x + B y = D$

Arti tiap simbol: $a_i, b_i, c_i$ koefisien tiap variabel, $d_i$ konstanta ruas kanan; hasil eliminasi $Ax + By = D$ punya satu variabel lebih sedikit.

Geser slider $m$ di bawah untuk melihat efek menyamakan koefisien: dua garis awal berubah menjadi pasangan yang siap dikurangkan, dan garis hasil eliminasi (lebih sedikit variabel) muncul sebagai bayangan.

Substitusi: balik ke persamaan awal

Begitu satu variabel ditemukan (misalnya $z$ ), substitusikan nilainya ke persamaan dua variabel yang tersisa untuk mencari variabel kedua. Lalu substitusikan kedua nilai itu kembali ke persamaan awal untuk mendapat variabel ketiga. Inilah “jalur kembali” yang menyelesaikan sistem.

Berpikir seperti detektif: eliminasi menyusutkan daftar tersangka (variabel) satu per satu; substitusi menjejaki balik nila tiap tersangka yang sudah diketahui.

Geser slider $z$ di bawah dan lihat bagaimana menetapkan satu variabel seketika mengunci posisi titik solusi di sepanjang garis sisanya.

Memeriksa solusi di tiga persamaan

Solusi SPLTV harus memenuhi ketiga persamaan asli sekaligus. Setelah menemukan $x$ , $y$ , $z$ , substitusikan ketiganya ke setiap persamaan — jika ruas kiri sama dengan ruas kanan di semua persamaan, solusimu benar. Langkah cek ini wajib karena kesalahan aritmetika mudah terjadi di tengah rantai perhitungan panjang.

Geser slider $x$ , $y$ , $z$ di bawah dan amati tiga indikator: semua hijau (positif) berarti solusi valid, satu merah (negatif) berarti perlu diperiksa ulang.

Soal SPLTV rutin muncul di TKA dan UTBK Pengetahuan Kuantitatif, biasanya dalam bentuk soal cerita campuran harga, komposisi, atau jumlah koin. Strategi: susun tiga persamaan (lihat artikel pemodelan), lalu eliminasi variabel yang paling mudah disamakan koefisiennya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan sistem persamaan linear multivariabel (hingga tiga variabel) pada jalur Matematika wajib elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Selesaikan SPLTV berikut: $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + y - z = 4 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$

Jumlahkan persamaan 1 dan 2: $(x + y + z) + (x + y - z) = 6 + 4$ , sehingga $2x + 2y = 10$ , atau disederhanakan $x + y = 5$ (persamaan A).

Jumlahkan persamaan 1 dan 3: $(x + y + z) + (x - y + z) = 6 + 2$ , sehingga $2x + 2z = 8$ , atau $x + z = 4$ (persamaan B).

Dari A: $y = 5 - x$ . Dari B: $z = 4 - x$ . Substitusikan ke persamaan 1: $x + (5 - x) + (4 - x) = 6$ , sehingga $9 - x = 6$ , maka $x = 3$ . Lalu $y = 5 - 3 = 2$ dan $z = 4 - 3 = 1$ . Solusinya $x = 3$ , $y = 2$ , $z = 1$ .

Persamaan 1: $3 + 2 + 1 = 6$ ✓. Persamaan 2: $3 + 2 - 1 = 4$ ✓. Persamaan 3: $3 - 2 + 1 = 2$ ✓. Semua cocok.

Latihan berikut mengacak soal substitusi nilai variabel. Kerjakan dahulu di kertas, ketik nilai ruas kiri tiap persamaan, lalu tekan Soal baru untuk ganti.

Jebakan: menyamakan koefisien tetapi lupa mengalikan konstanta ruas kanan. Yang benar: kalikan setiap suku persamaan, termasuk konstanta — misalnya $x + y + z = 6$ dikali 2 menjadi $2x + 2y + 2z = 12$ , bukan $2x + 2y + 2z = 6$ .

Jebakan: berhenti setelah satu variabel diketahui, menganggap tugas selesai. Yang benar: substitusi balik untuk menemukan kedua variabel lainnya, lalu cek ke ketiga persamaan asli.

SPLTV diselesaikan dengan mereduksi variabel satu per satu hingga tersisa satu.
Eliminasi: samakan koefisien satu variabel, kurangkan kedua persamaan, variabel itu hilang.
Substitusi: isolasi satu variabel, tempelkan ke persamaan lain untuk mencari variabel berikutnya.
Solusi akhir harus memenuhi ketiga persamaan asli — selalu lakukan cek.
Pilih variabel yang dieliminasi berdasarkan kemudahan menyamakan koefisien.