Peluang Empirik & Teoretik Dasar — Matematika Penyegaran SMP

Setelah ini kamu bisa membedakan peluang teoretik dengan frekuensi relatif dan menjelaskan mengapa keduanya makin mendekati saat percobaan diulang banyak kali.

Lempar sebuah koin sepuluh kali. Berapa kemungkinan muncul GAR? Pada sepuluh lemparan, kamu mungkin dapat 4 GAR; temanmu mungkin 7 GAR — hasilnya berbeda-beda. Tapi coba lempar sepuluh ribu kali: hampir pasti sekitar setengahnya GAR. Mengapa makin banyak lemparan membuat hasil makin dapat diprediksi, padahal tiap lemparan tetap acak? Coba lihat sendiri di bawah.

Tekan tombol Putar pada simulasi di bawah, lalu bandingkan 10 lemparan dengan 10.000 lemparan.

Dua pengertian peluang

Ada dua cara memperkirakan peluang sebuah kejadian. Peluang teoretik dihitung dari aturan: banyaknya hasil yang diinginkan dibagi banyaknya seluruh hasil yang mungkin, dengan asumsi semua hasil sama sering muncul. Peluang empirik (frekuensi relatif) diukur dari percobaan nyata: banyaknya kali kejadian terjadi dibagi banyaknya percobaan.

Peluang teoretik $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$ , dengan $n(A)$ = banyak hasil yang diinginkan, $n(S)$ = banyak seluruh hasil mungkin. Frekuensi relatif $= \dfrac{\text{frekuensi } A}{\text{banyak percobaan}}$ , dihitung dari data percobaan.

Untuk koin adil, $n(\text{GAR}) = 1$ dan $n(S) = 2$ , sehingga peluang teoretik GAR $= \frac{1}{2} = 0,5$ . Tapi pada 10 lemparan, frekuensi relatifnya bisa jauh dari 0,5 — mungkin 0,3 atau 0,7. Inilah inti perbedaannya: peluang teoretik adalah nilai ideal, frekuensi relatif adalah nilai teramati.

Hukum bilangan besar

Pada simulasi koin di atas, coba bandingkan grafik konvergensi saat lemparan sedikit vs sangat banyak. Pada 10 lemparan, garis frekuensi relatif meloncat-liuk jauh dari 0,5. Tapi pada 10.000 lemparan, garis itu nyaris menempel pada garis horizontal 0,5. Inilah hukum bilangan besar: makin banyak percobaan, frekuensi relatif makin mendekati peluang teoretik.

Bayangkan peluang teoretik sebagai rata-rata jangka panjang — seperti nilai rata-rata ulanganmu sepanjang semester. Satu ulangan bisa jelek atau bagus (meloncat), tapi rata-rata 20 ulangan lebih stabil dan mencerminkan kemampuanmu yang sebenarnya.

Satu lemparan tetap tak terduga — koin tidak “ingat” lemparan sebelumnya. Yang dapat diprediksi adalah pola ratusan atau ribuan lemparan.

Dadu enam sisi: tiap sisi sekitar 1/6

Untuk dadu adil, ada 6 hasil yang sama sering muncul (1 sampai 6), sehingga peluang teoretik tiap sisi $= \frac{1}{6} \approx 0,167$ . Pada simulasi di bawah, lempar dadu berkali-kali dan amati apakah tiap sisi mendekati $\frac{1}{6}$ .

$P(\text{tiap sisi dadu}) = \frac{1}{6} \approx 0,167$

Arti tiap simbol: $P$ = peluang teoretik; pembilang 1 = satu hasil yang diinginkan; penyebut 6 = enam hasil yang sama sering mungkin. Frekuensi relatif pada percobaan pendek boleh jauh dari $\frac{1}{6}$ , tetapi menstabil pada percobaan panjang.

Dua dadu: mengapa jumlah 7 paling sering

Saat dua dadu dilempar bersamaan, jumlah mata dadunya berkisar 2 sampai 12. Peluang tiap jumlah tidak sama: jumlah 7 muncul paling sering karena memiliki paling banyak kombinasi (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 = 6 kombinasi), sedangkan jumlah 2 dan 12 hanya satu kombinasi masing-masing.

Inilah contoh penting: tidak semua kejadian berpeluang sama. Peluang teoretik jumlah 7 $= \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , sedangkan peluang jumlah 2 atau 12 hanya $\frac{1}{36}$ . Hukum bilangan besar tetap berlaku — makin banyak lemparan, frekuensi relatif tiap jumlah mendekati peluang teoretiknya masing-masing.

Berlatih menghitung peluang teoretik

Sebelum mengandalkan simulasi, kuasai dulu peluang teoretik lewat rumus $\frac{n(A)}{n(S)}$ . Berlatihlah sampai refleks pada kasus dadu.

Peluang termasuk elemen data-peluang kerangka TKA 045/H/AN/2025 serta Penalaran Matematika UTBK. Jebakan paling sering: menyamakan peluang semua kejadian (pada dua dadu, jumlah 2 dan 7 berbeda peluang), keliru memakai rumus pada percobaan tak sama sering, serta lupa bahwa hukum bilangan besar berlaku pada rata-rata banyak percobaan — bukan menjamin hasil lemparan berikutnya.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah dadu adil dilempar 60 kali, dan mata 4 muncul 9 kali. (a) Berapa frekuensi relatif munculnya mata 4? (b) Berapa peluang teoretiknya? (c) Apakah keduanya sama persis, dan mengapa?

Frekuensi relatif $= \dfrac{\text{frekuensi mata 4}}{\text{banyak lemparan}} = \dfrac{9}{60} = 0,15$ atau 15%.

Peluang teoretik $= \dfrac{1}{6} \approx 0,167$ atau 16,7%, karena satu hasil diinginkan dari 6 hasil yang sama sering mungkin.

Frekuensi relatif (15%) tidak sama persis dengan peluang teoretik (16,7%) karena percobaan hanya 60 kali. Selisih 1,7% itu wajar. Andai dadu dilempar 6.000 kali, frekuensi relatifnya akan jauh lebih dekat ke 16,7% — itulah hukum bilangan besar.

Jebakan: menyamakan frekuensi relatif dengan peluang teoretik pada sedikit percobaan. Yang benar: keduanya bisa berbeda pada lemparan sedikit; hukum bilangan besar hanya menjamin kedekatan pada percobaan sangat banyak.

Jebakan: menganggap tiap kejadian berpeluang sama pada percobaan gabungan. Yang benar: pada dua dadu, peluang jumlah 7 ( $\frac{6}{36}$ ) jauh lebih besar daripada jumlah 2 ( $\frac{1}{36}$ ) karena kombinasi yang membentuknya berbeda banyak.

Jebakan: mengira koin “ingat” lemparan sebelumnya, misalnya setelah lima GAR berturut-turut maka GAM “pasti” muncul berikutnya. Yang benar: tiap lemparan independen; peluang GAM berikutnya tetap 0,5.

Peluang teoretik $= \dfrac{n(A)}{n(S)}$ (aturan), frekuensi relatif $= \dfrac{\text{frekuensi}}{\text{banyak percobaan}}$ (teramati).
Hukum bilangan besar: makin banyak percobaan, frekuensi relatif makin mendekati peluang teoretik.
Koin adil: peluang GAR $= \frac{1}{2}$ ; dadu adil: tiap sisi $\frac{1}{6}$ .
Dua dadu: peluang tiap jumlah tak sama; jumlah 7 paling sering ( $\frac{6}{36}$ ).
Tiap lemparan independen — koin dan dadu tidak punya ingatan.