FPB & KPK: Faktor dan Kelipatan Bersama — Matematika Penyegaran SMP

Setelah ini kamu bisa menentukan FPB dan KPK dua bilangan lewat faktorisasi prima serta memakainya pada soal konteks.

Dua lampu menyala bergantian: satu setiap 6 sekon, satu setiap 8 sekon. Kapan keduanya menyala bersamaan lagi? Itu pertanyaan tentang KPK — kelipatan persekutuan terkecil. Atau saat ingin membagi 24 permen dan 36 coklat menjadi paket sama besar tanpa sisa: berapa maksimum isi tiap paket? Itu FPB — faktor persekutuan terbesar. Kedua pertanyaan ini dijawab rapi lewat pohon faktor. Susun sendiri di bawah.

Coba seret titik-titik pohon faktor di bawah dan perhatikan bagaimana 60 terurai menjadi faktor primanya.

Faktor dan bilangan prima

Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan bulat positif yang dapat membaginya habis. Misalnya faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor: 1 dan dirinya sendiri — yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan seterusnya. Setiap bilangan bulat lebih dari 1 dapat ditulis sebagai perkalian bilangan prima secara tunggal; itulah faktorisasi prima.

Faktor persekutuan dua bilangan adalah faktor yang dimiliki keduanya. FPB (faktor persekutuan terbesar) adalah faktor persekutuan yang paling besar. KPK (kelipatan persekutuan terkecil) adalah kelipatan bersama terkecil dari dua bilangan.

Pohon faktor: membongkar bilangan jadi prima

Cara termudah melakukan faktorisasi prima adalah pohon faktor. Mulai dari bilangan, belah menjadi dua faktor. Bila faktor itu bukan prima, belah lagi — terus begitu sampai semua daun berupa bilangan prima. Hasil perkalian semua daun adalah faktorisasi primanya.

Untuk 60, satu jalur: $60 = 6 \times 10$ , lalu $6 = 2 \times 3$ dan $10 = 2 \times 5$ . Daunnya 2, 3, 2, 5 — jadi $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . Untuk 72, coba jalur berbeda di bawah ini dan lihat bahwa hasil primanya tetap sama walau jalurnya berbeda.

FPB: irisan faktor prima

Setelah dua bilangan difaktorkan, FPB didapat dari faktor prima yang muncul di kedua bilangan, masing-masing dipangkatkan sekecil-kecilnya. Contoh: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ dan $72 = 2^3 \times 3^2$ . Faktor prima bersama adalah 2 dan 3. Ambil pangkat terkecil: $2^2$ (bukan $2^3$ ) dan $3^1$ (bukan $3^2$ ). Maka FPB $= 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ .

$\text{FPB} = \prod p^{\min(a_p, b_p)}$

Arti tiap simbol: $p$ menyatakan tiap faktor prima bersama; $a_p$ dan $b_p$ pangkatnya di kedua bilangan; ambil pangkat yang lebih kecil, lalu kalikan.

Seret diagram dua lingkaran di bawah: irisan (daerah tumpang tindih) menampung faktor prima yang dipakai FPB, sementara bagian luar adalah faktor milik satu bilangan saja.

KPK: gabungan faktor prima

KPK kebalikannya: ambil semua faktor prima yang muncul di salah satu bilangan, masing-maising dipangkatkan sebesar-besarnya. Dari $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ dan $72 = 2^3 \times 3^2$ : gabungan prima {2, 3, 5}, ambil pangkat terbesar — $2^3$ , $3^2$ , $5^1$ . KPK $= 8 \times 9 \times 5 = 360$ . KPK inilah jawaban soal dua lampu — pertemuan pertama kedua deret kelipatan.

Seret kedua deret kelipatan di bawah: kelipatan 6 (6, 12, 18, …) dan kelipatan 8 (8, 16, 24, …). Titik pertama yang muncul di kedua deret adalah KPK.

FPB dan KPK adalah dasar bilangan yang sering muncul di Penalaran Matematika UTBK dan Pengetahuan Kuantitatif, khususnya pada soal konteks (pembagian rata barang, jadwal bertemu, kemasan). Jebakan paling sering: tertukar — FPB untuk “dibagi rata tanpa sisa” (mencari paling besar), KPK untuk “terjadi bersamaan lagi” (mencari paling kecil). Soal cerita membocorkan mana yang dipakai.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Ada 24 permen dan 36 coklat yang ingin dibagi rata ke dalam beberapa paket, masing-masing paket berisi jumlah permen dan coklat yang sama, tanpa sisa. (a) Berapa maksimum jumlah paket yang bisa dibuat? (b) Setelah itu, dua bel berbunyi setiap 24 sekon dan 36 sekon. Kapan keduanya berbunyi bersamaan lagi untuk pertama kali?

Membagi 24 permen dan 36 coklat ke paket sama tanpa sisa = mencari pembagi bersama terbesar. Itu FPB(24, 36). Faktorkan: $24 = 2^3 \times 3$ dan $36 = 2^2 \times 3^2$ .

Prima bersama: 2 dan 3. Ambil pangkat terkecil: $2^2$ (bukan $2^3$ ) dan $3^1$ (bukan $3^2$ ). FPB $= 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ . Maksimum 12 paket, masing-masing berisi 2 permen dan 3 coklat.

Dua bel berbunyi bersama lagi = KPK(24, 36). Ambil pangkat terbesar: $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$ . Kedua bel berbunyi bersamaan 72 sekon lagi.

Berlatihlah menghitung FPB dan KPK di bawah sampai refleks.

Jebakan: tertukar FPB dan KPK pada soal cerita. Yang benar: soal “dibagi rata tanpa sisa” atau “kelompok terbesar” memakai FPB; soal “terjadi bersamaan lagi”, “pertemuan pertama”, atau “paling cepat” memakai KPK. Baca kata kunci konteks sebelum memilih rumus.

Jebakan: pada FPB mengambil pangkat terbesar, atau pada KPK mengambil pangkat terkecil. Yang benar: kebalikannya — FPB pakai pangkat terkecil, KPK pakai pangkat terbesar dari tiap faktor prima bersama.

FPB = faktor persekutuan terbesar (pembagi bersama terbesar); KPK = kelipatan persekutuan terkecil.
Faktorisasi prima lewat pohon faktor: belah bilangan sampai semua daun prima.
FPB = produk faktor prima bersama berpangkat terkecil.
KPK = produk semua faktor prima berpangkat terbesar.
Soal “dibagi rata” → FPB; soal “bersamaan lagi” → KPK; KPK × FPB = a × b.