Hubungan Akar & Koefisien Polinomial Orde Tinggi — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyatakan jumlah, hasil kali berpasangan, dan hasil kali seluruh akar polinomial kubik-kuartik hanya dari koefisiennya lewat rumus Vieta.

Di teorema faktor kamu memburu akar satu per satu dengan uji substitusi. Tapi sering kamu tidak butuh akar tunggalnya — cukup tahu jumlah ketiganya, atau hasil kali semuanya. Sebuah polinomial kubik dengan akar $1$ , $2$ , $3$ pasti punya jumlah akar $6$ ; ternyata angka itu sudah terselip di koefisiennya tanpa kamu menghitung akar. Geser tiga titik akar di bawah, dan lihat sendiri koefisien menari mengikuti.

Seret ketiga titik pada sumbu-x dan amati koefisien polinomial serta panel Vieta berubah.

Dari faktor ke koefisien

Bila polinomial kubik berderajat tiga punya akar $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ , kamu bisa menuliskannya dalam bentuk faktor: $(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = x^3 - (r_1+r_2+r_3)x^2 + (r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)x - r_1 r_2 r_3.$ Tanda minus dan plus berselang-seling bukan kebetulan; ia lahir dari cara suku-suku berkumpul saat kamu mengalikan tiga faktor linear.

Bandingkan dengan bentuk umum $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ . Koefisien yang bersesuaian harus sama, sehingga kamu peroleh rumus Vieta untuk kubik.

$r_1 + r_2 + r_3 = -a, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = b, \quad r_1 r_2 r_3 = -c$

Arti tiap simbol: $a, b, c$ = koefisien $x^2, x^1, x^0$ pada $x^3 + ax^2 + bx + c$ ; $r_1, r_2, r_3$ = ketiga akar polinomial.

Tiga simetri, tiga pintu

Tiga rumus Vieta adalah tiga pintu berbeda. Pintu pertama menjumlahkan akar tunggal. Pintu kedua menjumlahkan hasil kali akar berpasangan — ada tiga pasangan untuk tiga akar. Pintu ketiga adalah hasil kali seluruh akar sekaligus.

Bayangkan tiga anak di satu tim. Jumlah tinggi badan adalah pintu pertama, luas pasangan dua-dua adalah pintu kedua, dan volume gabungan ketiganya adalah pintu ketiga. Ketiganya mengukur “tim” dari sudut berbeda — dan semuanya bisa kamu baca hanya dari koefisien, tanpa tahu tinggi satu anak pun.

Pola yang sama berlaku untuk polinomial kuartik $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ dengan empat akar: jumlah akar $= -a$ , jumlah perkalian berpasangan $= b$ , jumlah perkalian bertiga $= -c$ , dan hasil kali seluruh akar $= d$ .

Hasil kali berpasangan

Pintu kedua sering yang paling terlewat. Geser pasangan akar di bawah sambil memperhatikan bagaimana jumlah $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3$ berubah saat satu akar bergeser.

Latihan jumlah akar

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memberi polinomial $x^3 + ax^2 + bx + c$ dan menanyakan nilai $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_1 r_3$ atau $r_1 r_2 r_3$ tanpa meminta akar tunggalnya. Trik hemat waktu: langsung baca $b$ (untuk pasangan) atau $-c$ (untuk hasil kali total); jangan buang waktu memfaktorkan. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan hubungan akar-koefisien polinomial ≤ orde 4 sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ memiliki akar-akar $r_1, r_2, r_3$ . Tentukan $r_1 + r_2 + r_3$ , $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3$ , dan $r_1 r_2 r_3$ .

Bandingkan $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ dengan $x^3 + ax^2 + bx + c$ : $a = -2$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

Jumlah akar $= -a = 2$ . Jumlah perkalian berpasangan $= b = -5$ . Hasil kali seluruh akar $= -c = -6$ .

Faktorkan: $f(x) = (x-1)(x+2)(x-3)$ , jadi akarnya $1$ , $-2$ , $3$ . Cek: $1 + (-2) + 3 = 2$ cocok; $1(-2) + 1(3) + (-2)(3) = -2 + 3 - 6 = -5$ cocok; $1 \cdot (-2) \cdot 3 = -6$ cocok.

Tantangan diri: bayangkan kamu hanya tahu jumlah dan hasil kali akar, lalu coba tebak koefisiennya.

Jebakan: menulis hasil kali seluruh akar $= c$ (tanpa minus). Yang benar: $r_1 r_2 r_3 = -c$ . Tanda minus lahir dari konstanta pada faktor $(x - r)$ yang berkumpul dengan tanda minus saat mengalikan tiga suku linear.

Jebakan: tertukar rumus jumlah akar dan jumlah perkalian berpasangan. Yang benar: jumlah akar tunggal $= -a$ (koefisien $x^2$ ), sedangkan jumlah perkalian berpasangan $= b$ (koefisien $x$ ). Pasangkan rumus dengan koefisien yang benar.

Jebakan: menganggap Vieta gagal bila akar kompleks. Yang benar: rumus Vieta berlaku untuk semua akar — real maupun kompleks — selama polinomialnya dihitung di bilangan kompleks. Kamu tetap bisa membaca jumlah dan hasil kali akar dari koefisien.

Kubik $x^3 + ax^2 + bx + c$ : jumlah akar $= -a$ , pasangan $= b$ , hasil kali $= -c$ .
Pola tanda berselang-seling lahir dari perkalian faktor $(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$ .
Kuartik menambah satu pintu: jumlah perkalian bertiga $= -c$ dan hasil kali total $= d$ .
Baca koefisien langsung; tidak perlu memfaktorkan dulu.
Rumus Vieta berlaku juga untuk akar kompleks.