Teorema Faktor & Memburu Akar Rasional — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa memfaktorkan polinomial dengan teorema faktor dan memburu akar rasionalnya lewat uji faktor-faktor pembagi konstanta.

Di artikel teorema sisa, kamu menemukan bahwa bila $f(k) = 0$ , maka sisa pembaginya nol — artinya $(x - k)$ membagi habis. Itu berarti $k$ adalah akar polinomial sekaligus pintu masuk untuk memfaktorkan polinomial berderajat tinggi. Geser titik pada garis di bawah untuk menemukan di mana sebuah polinomial memotong sumbu-x, dan coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik sepanjang sumbu-x untuk menemukan posisi akar yang membuat polinomial memotong nol.

Dari sisa nol ke faktor

Bila sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x - k)$ adalah nol, maka $f(x) = (x - k) \cdot H(x)$ habis terbagi. Itu berarti $(x - k)$ adalah sebuah faktor dari $f(x)$ , dan $k$ adalah sebuah akar dari persamaan $f(x) = 0$ .

Teorema faktor menyatakan bahwa $(x - k)$ adalah faktor polinomial $f(x)$ jika dan hanya jika $f(k) = 0$ . Dengan kata lain, $k$ adalah akar $f(x) = 0$ .

Teorema faktor hanyalah kasus khusus teorema sisa, namun arahnya berbalik: bukan mencari sisa, melainkan menguji apakah sebuah kandidat adalah akar. Cukup substitusi kandidat $k$ ke $f$ ; bila hasilnya nol, kamu mendapat satu faktor $(x - k)$ , dan derajat polinomial berkurang satu setelah pembagian Horner.

$f(k) = 0 \iff (x - k) \text{ adalah faktor } f(x)$

Arti tiap simbol: $f(x)$ = polinomial yang difaktorkan; $k$ = kandidat akar yang diuji; $(x - k)$ = faktor linear yang dihasilkan bila $f(k) = 0$ .

Memburu akar rasional

Untuk polinomial berkoefisien bulat, akar rasionalnya — bila ada — pasti berbentuk $\frac{p}{q}$ dengan $p$ pembagi konstanta dan $q$ pembagi koefisien pangkat tertinggi. Inilah teorema akar rasional.

Pikirkan dirimu sebagai detektif yang menyaring daftar tersangka. Pembagi konstanta adalah calon pembilang, pembagi koefisien utama adalah calon penyebut. Daftar tersangka akar rasional = semua $\frac{p}{q}$ yang mungkin. Kamu lalu memeriksa satu per satu dengan teorema faktor — yang lolos uji $f(k) = 0$ adalah akar sejati.

Sebagai contoh, untuk $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ , calon akar rasionalnya adalah $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$ . Uji $k = 3$ : $f(3) = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$ , jadi $(x - 3)$ faktor. Setelah membagi dengan Horner, kamu peroleh hasil bagi kuadrat yang lebih mudah difaktorkan lagi.

Memfaktorkan bertahap

Strategi memfaktorkan polinomial berderajat tinggi: (1) cari satu akar lewat uji akar rasional; (2) bagi dengan Horner untuk menurunkan derajat; (3) ulangi sampai tersisa kuadrat yang bisa difaktorkan langsung atau dengan rumus abc. Setiap akar yang ditemukan menambah satu faktor linear.

Sebagai contoh, dari $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ kamu sudah dapat akar $3$ . Bagi dengan Horner: hasil baginya $2x^2 + 3x - 2$ , yang difaktorkan menjadi $(2x - 1)(x + 2)$ . Jadi $f(x) = (x - 3)(2x - 1)(x + 2)$ , dengan akar $3$ , $\frac{1}{2}$ , dan $-2$ .

Latihan uji akar rasional

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memberi polinomial berderajat tiga atau empat dan meminta pemfaktoran atau akar-akarnya. Trik hemat waktu: daftar calon akar rasional dari pembagi konstanta dan koefisien utama, lalu uji cepat dengan substitusi mental sebelum menyusun Horner. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan teorema faktor sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan semua akar rasional dari $f(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$ .

Konstanta 3, koefisien utama 1, jadi calon akar rasionalnya $\pm 1, \pm 3$ . Uji yang bulat dulu karena paling cepat.

$f(1) = 1 + 1 - 5 + 3 = 0$ . Jadi $(x - 1)$ faktor. Bagi dengan Horner, hasil baginya $x^2 + 2x - 3$ .

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$ . Maka $f(x) = (x - 1)^2(x + 3)$ , dengan akar $1$ (multiplisitas dua) dan $-3$ . Cek: $f(-3) = -27 + 9 + 15 + 3 = 0$ , cocok.

Tantangan diri: dari daftar calon akar rasional, pilih satu yang paling mungkin lalu uji dengan teorema faktor.

Jebakan: menguji hanya satu calon akar lalu menyimpulkan polinomial tidak bisa difaktorkan. Yang benar: uji semua calon akar rasional $\pm \frac{p}{q}$ secara sistematis. Bila satu pun tidak lolos, kemudian polinomial mungkin punya akar irasional atau kompleks — tetapi jangan menyerah pada calon pertama.

Jebakan: melupakan calon akar berbentuk pecahan seperti $\frac{1}{2}$ atau $\frac{3}{2}$ . Yang benar: bila koefisien utama bukan satu, penyebut $q$ bisa lebih dari satu, sehingga calon akar pecahan wajib diuji. Hanya menguji akar bulat membuat kamu melewatkan faktor seperti $(2x - 1)$ .

Jebakan: berhenti setelah menemukan satu akar tanpa melanjutkan pemfaktoran. Yang benar: setelah membagi dengan Horner dan menurunkan derajat, hasil baginya sendiri mungkin masih bisa difaktorkan lagi. Teruskan sampai tersisa kuadrat atau polinomial yang tidak punya akar rasional lagi.

Teorema faktor: $(x - k)$ faktor $f(x)$ jika dan hanya jika $f(k) = 0$ .
Akar rasional $\frac{p}{q}$ : $p$ pembagi konstanta, $q$ pembagi koefisien utama.
Strategi: uji calon akar, bagi Horner, ulangi hingga tersisa kuadrat.
Setiap akar yang ditemukan menambah satu faktor linear dan menurunkan derajat.
Tidak semua polinomial berkoefisien bulat punya akar rasional — waspadai akar irasional/kompleks.