Teorema Sisa: Substitusi Mengganti Horner — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menentukan sisa pembagian polinomial oleh $(x - k)$ hanya dengan substitusi $f(k)$ , dan menyatakannya sebagai teorema.

Di artikel Horner kamu sudah melihat satu kejutan: sisa pembagian oleh $(x - k)$ selalu sama dengan $P(k)$ . Benarkah itu kebetulan, atau sebuah pola yang selalu berlaku? Geser garis tegak $x = k$ pada grafik di bawah dan amati apakah nilai $f(k)$ memang selalu identik dengan sisa pembagian yang dihitung Horner. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $k$ , lalu bandingkan tinggi titik $f(k)$ dengan angka sisa pembagian.

Dari Horner ke teorema sisa

Ingat kembali hubungan dasar pembagian polinomial: $P(x) = H(x) \cdot D(x) + S(x)$ . Bila pembaginya linear, $D(x) = (x - k)$ , maka derajat sisa harus kurang dari satu. Artinya sisanya bukan polinomial, melainkan sebuah konstanta $S$ .

Teorema sisa menyatakan bahwa sisa pembagian polinomial $f(x)$ oleh $(x - k)$ sama dengan $f(k)$ . Dengan kata lain, $f(x) = (x - k) \cdot H(x) + f(k)$ .

Buktinya hanya satu baris. Substitusikan $x = k$ ke hubungan $f(x) = (x - k) \cdot H(x) + S$ : suku $(k - k) \cdot H(k)$ langsung nol, menyisakan $f(k) = S$ . Karena $S$ konstan, nilainya tidak bergantung pada $x$ , jadi ia memang sama dengan $f(k)$ untuk sembarang $k$ .

$f(x) = (x - k) \cdot H(x) + S, \quad S = f(k)$

Arti tiap simbol: $f(x)$ = polinomial yang dibagi; $k$ = konstanta pembagi linear $(x - k)$ ; $H(x)$ = hasil bagi; $S$ = sisa berupa konstanta yang sama dengan nilai $f$ di $k$ .

Mengejar pola secara visual

Agar yakin bahwa teorema ini bukan kebetulan, kamu bisa membandingkan tiga nilai $f$ pada tiga titik berbeda sekaligus. Seret ketiga titik pada segitiga di bawah; masing-masing membawa nilai $f$ -nya sendiri, dan kamu bisa mencocokkannya dengan sisa pembagian oleh $(x - k)$ yang sesuai.

Tiga titik $k = 1$ , $k = 3$ , dan $k = -2$ semuanya memberi $f(k) = 0$ untuk $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ . Itu berarti ketiganya adalah akar: sisa pembaginya nol. Inilah jembatan menuju teorema faktor di artikel berikutnya.

Menghitung sisa dengan substitusi

Karena sisa = $f(k)$ , kamu tidak perlu lagi menyusun tabel Horner hanya untuk mencari sisa. Cukup substitusi nilai $k$ langsung ke polinomial. Untuk pembagi yang lebih umum, misalnya $(ax + b)$ , tulis ulang dulu menjadi $a\left(x + \frac{b}{a}\right) = a\left(x - \left(-\frac{b}{a}\right)\right)$ , lalu substitusi $k = -\frac{b}{a}$ .

Sebagai contoh, sisa $f(x) = 2x^3 - x^2 + 4x - 7$ dibagi $(x + 1)$ berarti $k = -1$ , sehingga $f(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) - 7 = -2 - 1 - 4 - 7 = -14$ . Tanpa Horner, tanpa bersusun, jawabannya langsung keluar.

Pikirkan teorema sisa sebagai “kunci yang membuka kunci tertentu”. Pembagi $(x - k)$ adalah pertanyaan “berapa nilai fungsi saat $x = k$ ?”, dan sisa pembagian adalah jawabannya. Kamu tidak perlu membongkar seluruh polinomial — cukup tanyakan nilainya di satu titik.

Latihan teorema sisa

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering menyembunyikan teorema sisa di balik pertanyaan seperti “jika polinomial $f(x)$ dibagi $(x - 2)$ bersisa 5, tentukan nilai parameter $a$ pada koefisien $f$ ”. Triknya: substitusi $x = 2$ , samakan dengan sisa yang diketahui, lalu selesaikan persamaan untuk $a$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan teorema sisa sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sisa pembagian $f(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x + a$ oleh $(x - 1)$ adalah 8. Tentukan nilai $a$ .

Menurut teorema sisa, sisa pembagian oleh $(x - 1)$ sama dengan $f(1)$ . Diketahui sisanya 8, maka $f(1) = 8$ .

$f(1) = 1^4 + 2(1)^3 - (1)^2 + 3(1) + a = 1 + 2 - 1 + 3 + a = 5 + a$ .

Samakan $5 + a = 8$ , sehingga $a = 3$ . Cek: $f(1) = 5 + 3 = 8$ , cocok dengan sisa yang diketahui.

Tantangan diri: tanpa menyusun tabel, sebutkan sisa pembagian polinomial oleh pembagi linear hanya dari satu substitusi.

Jebakan: menerapkan teorema sisa langsung pada pembagi yang bukan linear murni, misalnya $(2x - 6)$ . Yang benar: tulis ulang dulu menjadi $2(x - 3)$ , baru substitusi $k = 3$ . Kalau kamu substitusi $k = 6$ , hasilnya salah karena kamu mengabaikan faktor skalar 2 di luar.

Jebakan: menganggap teorema sisa berlaku untuk pembagi kuadrat seperti $(x^2 - 4)$ . Yang benar: teorema sisa hanya berlaku untuk pembagi linear $(x - k)$ . Untuk pembagi kuadrat, sisa bisa berbentuk linear $ax + b$ , sehingga kamu butuh dua kondisi — gunakan pembagian bersusun atau sisa polinomial umum.

Jebakan: lupa bahwa sisa pembagian linear selalu konstanta, lalu menulisnya sebagai suku berisi $x$ . Yang benar: karena derajat sisa harus kurang dari derajat pembagi (yaitu satu), sisanya pasti berderajat nol — bilangan real biasa, bukan fungsi $x$ .

Teorema sisa: sisa $f(x)$ dibagi $(x - k)$ sama dengan $f(k)$ .
Bukti: substitusi $x = k$ pada $f(x) = (x - k)H(x) + S$ membuat suku $(x - k)$ nol.
Pembagi $(ax + b)$ : tulis ulang menjadi $a(x - k)$ dengan $k = -b/a$ , lalu substitusi.
Sisa pembagian linear selalu konstanta (derajat < 1).
$f(k) = 0$ berarti $(x - k)$ adalah faktor — jembatan ke teorema faktor.