Grafik Polinomial: Perilaku Ujung & Multiplisitas — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa mensketsa grafik polinomial dari akar, multiplisitas, dan perilaku ujungnya tanpa menghitung titik satu per satu.

Lima titik akar di sumbu-x sebenarnya sudah cukup untuk menebak bentuk sebuah kurva kubik. Tapi bagaimana kurva itu berperilaku jauh di kiri dan kanan? Dan mengapa satu akar membuat kurva “menyentuh” sumbu sementara akar lain “memotong”? Ternyata dua pertanyaan itu dijawab oleh derajat polinomial dan pangkat faktornya. Geser slider di bawah, dan lihat sendiri kurva polinomial menari mengikuti akar dan derajatnya.

Coba geser slider derajat (genap/ganjil) dan tanda $a$ lalu amati kedua ujung kurva.

Perilaku ujung

Untuk nilai $|x|$ besar, hanya suku berpangkat tertinggi yang menentukan arah kurva — suku lain kalah besar. Perilaku ujung ditentukan oleh dua hal: genap/ganjil derajat dan tanda koefisien utama.

Perilaku ujung polinomial adalah arah kurva saat $x$ menuju $-\infty$ (kiri) dan $+\infty$ (kanan), ditentukan oleh derajat polinomial dan tanda koefisien utama.

Empat kasus baku: derajat ganjil dan $a > 0$ → kiri turun, kanan naik; derajat ganjil dan $a < 0$ → kiri naik, kanan turun; derajat genap dan $a > 0$ → kedua ujung naik; derajat genap dan $a < 0$ → kedua ujung turun. Pola ini memberi kamu “kerangka” kurva bahkan sebelum menggambar satu titik pun.

Multiplisitas: menyentuh vs memotong

Bila akar $r$ muncul sebagai faktor $(x-r)^m$ , bilangan $m$ disebut multiplisitas akar. Multiplisitas ini menentukan perilaku kurva di sekitar sumbu-x.

$m \text{ ganjil} \Rightarrow \text{kurva memotong sumbu-x}; \quad m \text{ genap} \Rightarrow \text{kurva menyentuh sumbu-x lalu membalik}$

Arti tiap simbol: $m$ = pangkat faktor $(x-r)$ ; “memotong” = kurva melewati sumbu berganti tanda; “menyentuh” = kurva menyentuh lalu kembali ke sisi yang sama.

Akar dengan multiplisitas ganjil berarti kurva menyeberang sumbu-x (berganti tanda). Akar dengan multiplisitas genap berarti kurva hanya menyentuh sumbu lalu membalik arah. Semakin besar $m$ , semakin “rata” kurva saat menyentuh sumbu.

Pikirkan akar sebagai pintu. Multiplisitas ganjil = pintu yang kamu lewati (kamu berpindah sisi). Multiplisitas genap = pintu yang kamu sentuh lalu kamu mundur (kamu tetap di sisi yang sama). Itu sebabnya akar genap membuat kurva “memantul” dari sumbu-x.

Geser multiplisitas pada plot di bawah untuk merasakan beda “menyentuh” dan “memotong”.

Membangun kurva dari akar

Dengan tiga aturan — perilaku ujung, akar di sumbu-x, dan multiplisitas — kamu bisa mensketsa polinomial apa pun. Misalnya $f(x) = (x+2)(x-1)^2(x-3)$ : derajat 4 dengan $a>0$ (kedua ujung naik), akar di $-2, 1, 3$ , dengan akar $1$ menyentuh (multiplisitas genap) dan dua akar lain memotong.

Bandingkan tiga kurva di bawah yang dibangun dari tiga akar berbeda, dan amati bagaimana kerangka itu terbentuk.

Latihan baca nilai dari grafik

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap menampilkan grafik polinomial dan menanyakan jumlah akar, multiplisitas, atau tanda koefisien utama. Trik hemat waktu: hitung berapa kali kurva memotong/menyentuh sumbu-x (itulah banyak akar real, hitung multiplisitas), lalu lihat kedua ujung untuk menentukan tanda koefisien utama. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan grafik polinomial ≤ orde 4 sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sketsakan grafik $f(x) = (x+1)(x-2)^2$ dan tentukan perilaku ujung, akar, serta multiplisitasnya.

Kali semua faktor: derajat $1 + 2 = 3$ (ganjil). Koefisien utama positif (dari $x \cdot x \cdot x$ ), jadi kiri turun, kanan naik.

Akar di $x = -1$ (multiplisitas 1, ganjil → memotong) dan $x = 2$ (multiplisitas 2, genap → menyentuh lalu membalik).

Dari kiri jauh: kurva datang dari bawah, memotong sumbu di $x = -1$ , naik sedikit lalu turun menyentuh sumbu di $x = 2$ (tidak menyeberang), lalu naik ke kanan jauh. Cek: $f(0) = (1)(4) = 4$ positif, cocok dengan kurva di atas sumbu antara $-1$ dan $2$ .

Latih kecepatan mengenali multiplisitas langsung dari bentuk kurva di sekitar akar.

Jebakan: mengira semua akar membuat kurva “memotong” sumbu-x. Yang benar: akar dengan multiplisitas genap membuat kurva menyentuh lalu membalik; hanya multiplisitas ganjil yang memotong. Periksa pangkat tiap faktor sebelum menyimpulkan bentuk kurva.

Jebakan: menentukan perilaku ujung hanya dari tanda koefisien utama tanpa cek genap-ganjil derajat. Yang benar: dua ujung naik hanya bila derajat genap DAN $a > 0$ ; untuk derajat ganjil dengan $a > 0$ , ujungnya berlawanan arah (kiri turun, kanan naik).

Jebakan: mengabaikan suku pangkat tertinggi saat membaca perilaku ujung. Yang benar: untuk $|x|$ besar, suku berderajat tertinggi mendominasi totalnya; suku lain kalah besar dan bisa diabaikan. Jangan periksa konstanta saat menentukan ujung.

Perilaku ujung: derajat ganjil → ujung berlawanan; derajat genap → ujung searah.
Tanda koefisien utama menentukan naik/turun ujung kanan.
Akar dari faktor $(x-r)^m$ punya multiplisitas $m$ .
Multiplisitas ganjil → kurva memotong; genap → kurva menyentuh lalu membalik.
Sketsa polinomial = perilaku ujung + letak akar + multiplisitas tiap akar.