Kombinasi: Saat Urutan Tak Penting — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung banyak cara memilih r dari n tanpa memperhatikan urutan lewat rumus kombinasi C(n,r) = n! dibagi (r!(n−r)!).

RT membutuhkan tiga orang untuk tim ronda malam ini, dari enam warga yang bersedia. Berapa banyak susunan tim yang mungkin? Ternyata hanya 20 — jauh lebih sedikit dari 120 (permutasi). Sebabnya: tim {Ali, Budi, Cici} sama saja dengan {Budi, Cici, Ali}. Urutan tidak penting, jadi semua susunan anggota sama dilebur menjadi satu. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret anggota pada tim di bawah dan perhatikan susunan yang anggotanya sama dilebur jadi satu kelompok.

Memilih tanpa urutan: inti kombinasi

Kombinasi adalah cara memilih $r$ objek dari $n$ tanpa memperhatikan urutan. Berbeda dengan permutasi yang menghitung susunan berurutan, kombinasi menganggap dua pilihan dengan anggota sama sebagai satu — meskipun urutannya berbeda. Tim {Ali, Budi, Cici} dan {Cici, Ali, Budi} adalah tim yang sama.

Kombinasi $C(n,r)$ atau $\binom{n}{r}$ adalah banyak cara memilih $r$ objek dari $n$ tanpa memperhatikan urutan. Rumusnya $C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ .

Rumus: bagi permutasi dengan r!

Cara menurunkan rumusnya: mulai dari permutasi $P(n,r)$ yang menghitung pemilihan berurutan. Untuk satu kelompok anggota yang sama (ada $r$ orang), ada $r!$ susunan urutan berbeda yang sebenarnya menghasilkan tim yang sama. Maka bagi $P(n,r)$ dengan $r!$ untuk melebur semua susunan duplikat menjadi satu.

$C(n,r) = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Arti tiap simbol: $n$ = total objek tersedia, $r$ = banyak objek yang dipilih tanpa urutan; pembagian dengan $r!$ membuang susunan duplikat dari anggota yang sama.

Bangun di bawah memperlihatkan bagaimana $P(n,r)$ dipangkas oleh $r!$ . Seret titik untuk merasakan penyusutan jumlah kelompok unik saat ukuran tim $r$ bertambah.

Contoh konkret: tim ronda 3 dari 6

Dari 6 warga, pilih 3 untuk tim ronda. Banyak cara = $C(6,3) = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = \dfrac{720}{6 \cdot 6} = 20$ . Bandingkan dengan permutasi $P(6,3) = 120$ — kombinasi sepertinya dari permutasi karena urutan tim tidak dihitung. Bangun di bawah memperlihatkan tim tiga orang sebagai segitiga; seret titik untuk membentuk berbagai tim berbeda.

Segitiga Pascal: peta nilai C(n,r)

Nilai $C(n,r)$ tersusun rapi di segitiga Pascal: tiap bilangan adalah $C(n,r)$ untuk baris $n$ dan kolom $r$ . Baris ke- $n$ berisi $C(n,0), C(n,1), \ldots, C(n,n)$ . Tiap bilangan adalah jumlah dua bilangan di baris atasnya. Bangun di bawah memperlihatkan beberapa baris awal segitiga Pascal; seret titik untuk menjelajah polanya.

Bayangkan kombinasi seperti “memilih anggota klub”. Yang dihitung adalah siapa saja yang tergabung, bukan urutan mereka masuk. Menukar urutan pendaftaran tidak menghasilkan klub berbeda.

Soal TKA dan UTBK sering menyelinap lewat kata “memilih”, “tim”, “komite”, atau “mengundi”. Trik: bila urutan tidak diperhatikan (tim, kelompok, sampel), pakai kombinasi $C(n,r)$ . Bila urutan penting (juara, posisi, peringkat), pakai permutasi. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aturan pencacahan sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah panitia terdiri dari 4 orang yang dipilih dari 8 calon. Berapa banyak susunan panitia yang mungkin?

Panitia tidak punya urutan peran, jadi {A, B, C, D} sama dengan {D, C, B, A}. Ini kombinasi: $C(8,4)$ .

$C(8,4) = \dfrac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{40320}{24 \cdot 24} = \dfrac{40320}{576} = 70$ .

Ada $70$ susunan panitia berbeda yang mungkin dari 8 calon.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — angkanya berubah setiap kali, tapi pola rumus kombinasi tetap sama.

Jebakan: memakai kombinasi padahal urutan diperhatikan (mis. juara 1, 2, 3). Yang benar: bila urutan diperhatikan, pakai permutasi $P(n,r)$ . Kombinasi khusus saat urutan tidak penting (tim, kelompok, sampel).

Jebakan: lupa membagi $P(n,r)$ dengan $r!$ sehingga menghitung $C(n,r)$ sebagai $n!/(n-r)!$ . Yang benar: $C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ — ada $r!$ di penyebut untuk melebur susunan duplikat anggota sama.

Kombinasi: memilih $r$ dari $n$ tanpa urutan; rumus $C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ .
Pembagian dengan $r!$ melebur $r!$ susunan urutan dari anggota yang sama menjadi satu kelompok.
Urutan diperhatikan (juara, posisi) → permutasi; urutan tidak penting (tim, kelompok) → kombinasi.
Simetri: $C(n,r) = C(n,n-r)$ .
Nilai $C(n,r)$ tersusun di segitiga Pascal.