Permutasi atau Kombinasi? Peta Keputusan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa memilih alat pencacahan yang tepat (perkalian, permutasi, atau kombinasi) dari ciri soal cerita yang dihadapi.

Soal cerita berbunyi: “Dari 6 pelari, 3 naik podium.” Pakai permutasi atau kombinasi? Tergantung — bila podium punya urutan (juara 1, 2, 3), pakai permutasi (120); bila hanya tiga pin kehormatan yang sama, pakai kombinasi (20). Beda satu kata, jawaban beda enam kali lipat. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret kartu soal pada sorter di bawah ke keranjang alat yang tepat dan perhatikan keputusannya.

Tiga alat, tiga pertanyaan kunci

Sebagian besar soal pencacahan dapat diselesaikan dengan salah satu dari tiga alat: aturan perkalian, permutasi, atau kombinasi. Triknya bukan menghafal rumus, melainkan membaca soal dengan tiga pertanyaan kunci: (1) Apakah keputusan dibuat dalam tahap berurutan yang berbeda? (2) Apakah urutan objek diperhatikan? (3) Apakah objek dapat berulang?

Peta keputusan pencacahan memilih alat berdasarkan ciri soal: bila ada tahap berurutan berbeda → aturan perkalian; bila memilih $r$ dari $n$ dengan urutan diperhatikan → permutasi $P(n,r)$ ; bila urutan tidak diperhatikan → kombinasi $C(n,r)$ .

Diagram alir keputusan

Cara termudah memilih alat adalah mengikuti diagram alir. Mulai dari pertanyaan “apakah urutan diperhatikan?”. Bila ya, lanjut ke permutasi; bila tidak, ke kombinasi. Sebelumnya, tanyakan dulu “apakah keputusan terdiri dari beberapa tahap berbeda?” — bila ya, aturan perkalian. Bangun di bawah memperlihatkan alur diagram ini sebagai segi banyak; seret titik untuk menjelajah cabangnya.

Permutasi vs kombinasi: inti pada urutan

Banyak siswa keliru menukar permutasi dan kombinasi karena keduanya sama-sama “memilih $r$ dari $n$ ”. Pembeda tunggalnya adalah urutan: bila posisi dibedakan (juara 1 ≠ juara 2), pakai permutasi; bila hanya keanggotaan (tim tanpa peran), pakai kombinasi. Bandingkan: $P(6,3) = 120$ tetapi $C(6,3) = 20$ — kombinasi tepat sepertiga dalam jumlah karena membagi $r!$ . Bangun di bawah memperlihatkan dua tim yang sama anggotanya namun berbeda urutan.

Aturan perkalian vs permutasi: tahap vs susunan

Aturan perkalian dipakai bila keputusan terdiri dari beberapa tahap berbeda (mis. memilih baju, lalu celana, lalu sepatu). Permutasi dipakai bila menyusun objek sejenis dalam slot berurutan. Bila tiap tahap punya jumlah pilihan tetap dan tahap-tahapnya berbeda jenis, aturan perkalian berlaku; bila semua objek sejenis dan tiap slot terisi mengurangi pilihan, itu permutasi. Bangun di bawah memperlihatkan dua skema yang tampak mirip namun berbeda alatnya.

Ciri soal	Alat	Rumus
Tahap berbeda jenis (baju, celana, sepatu)	Aturan perkalian	$n_1 \times n_2 \times \cdots$
Pilih $r$ dari $n$ , urutan diperhatikan	Permutasi	$P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
Pilih $r$ dari $n$ , urutan tak penting	Kombinasi	$C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
Susun semua $n$ objek sejenis	Permutasi seluruh	$n!$

Soal TKA dan UTBK sengaja memilih kata-kata yang menipu: “susunan”, “tim”, “komite”, “panitia”, “menyusun”, “memilih”. Latih kepekaan membaca kata kunci: bila ada peringkat/posisi/juara → permutasi; bila hanya keanggotaan → kombinasi; bila ada beberapa tahap berbeda → perkalian. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aturan pencacahan sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah restoran menawarkan 4 jenis makanan pokok, 3 jenis lauk, dan 2 jenis minuman. Seorang pelanggan memilih satu dari tiap kategori. Berapa banyak kemungkinan paket yang dapat disusun?

Pelanggan memilih dari tiga kategori berbeda (makanan, lauk, minuman), masing-masing satu pilihan. Ini bukan menyusun objek sejenis, melainkan tahap berurutan berbeda jenis.

Banyak paket = $4 \times 3 \times 2 = 24$ .

Bila soal berbunyi “susun 3 dari 9 menu berurutan”, itu permutasi $P(9,3) = 504$ . Tapi karena di sini kategori berbeda dan tiap tahap punya pilihan tetap, pakai aturan perkalian = 24 paket.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — konteks soal berubah setiap kali, tapi keputusan alatnya mengikuti ciri yang sama.

Jebakan: otomatis memakai kombinasi setiap kali melihat kata “memilih”. Yang benar: periksa dulu apakah urutan diperhatikan. Bila ada peran/posisi/peringkat, itu permutasi; bila hanya keanggotaan, kombinasi; bila ada beberapa tahap berbeda jenis, aturan perkalian.

Jebakan: memakai aturan perkalian $n_1 \times n_2 \times \cdots$ padahal semua objek sejenis dan tiap slot menyusut. Yang benar: bila objek sejenis dipilih berurutan tanpa pengembalian, itu permutasi $P(n,r)$ — slot berikutnya punya satu pilihan lebih sedikit.

Tiga alat: aturan perkalian (tahap beda jenis), permutasi (urutan diperhatikan), kombinasi (urutan tak penting).
Pertanyaan kunci: berapa tahap? Apakah urutan diperhatikan? Apakah objek sejenis?
Juara/posisi/peringkat → permutasi; tim/panitia/kelompok → kombinasi.
Baju-celana-sepatu (tahap beda) → aturan perkalian.
$P(n,r) = C(n,r) \cdot r!$ — permutasi selalu ≥ kombinasi.