Faktorial & Permutasi — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung banyak susunan berurutan n objek dengan faktorial serta permutasi r dari n dengan rumus P(n,r).

Lima pelari lomba lari, tapi hanya tiga podium (emas, perak, perunggu) yang tersedia. Berapa banyak cara menyusun pemenang di podium? Jawabannya bukan 5, melainkan 60 — angka yang jauh lebih besar dari dugaan. Penyebabnya: tiap slot podium terisi, pilihan untuk slot berikutnya menyusut. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider n dan perhatikan kurva n! tumbuh melonjak melampaui linear.

Faktorial: perkalian menyusut

Saat kamu menyusun $n$ objek berbeda dalam satu baris, objek pertama dapat dipilih dari $n$ kandidat, objek kedua dari $n-1$ sisanya, objek ketiga dari $n-2$ , dan seterusnya sampai objek terakhir tinggal 1 pilihan. Hasil kali semua ini disebut faktorial, ditulis $n!$ .

Faktorial $n!$ adalah hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai $n$ : $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$ . Konvensi: $0! = 1$ .

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$

Arti tiap simbol: $n$ = banyak objek yang disusun berurutan penuh.

Tiga contoh cepat untuk diingat: $3! = 6$ , $4! = 24$ , dan $5! = 120$ . Inilah yang membuat kurva faktorial di atas melonjak begitu curam — tiap langkah menambah satu pengali baru.

Permutasi seluruh objek: n!

Menyusun semua $n$ objek berurutan disebut permutasi seluruh objek, dan banyaknya persis $n!$ . Contoh: ada berapa cara menyusun 4 buku di rak? Jawab: $4! = 24$ cara. Setiap susunan berbeda posisi dihitung terpisah karena urutan diperhatikan.

Bayangkan permutasi sebagai “memesan orang di kursi”. Tiap kali satu kursi terisi, jumlah orang yang tersedia untuk kursi berikutnya berkurang satu. Inilah mengapa hasilnya adalah perkalian menyusut, bukan penjumlahan.

Permutasi r dari n: tidak semua objek dipakai

Seringkali kamu tidak menyusun semua objek, melainkan hanya $r$ dari $n$ . Contoh klasik: dari 5 pelari, hanya 3 podium yang tersedia. Banyaknya cara = $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . Inilah permutasi r dari n, ditulis $P(n,r)$ atau ${}_nP_r$ .

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Arti tiap simbol: $n$ = total objek tersedia, $r$ = banyak objek yang dipilih dan disusun berurutan.

Bangun di bawah memperlihatkan podium 3 slot untuk 5 pelari sebagai segitiga — tiap titik menyatakan satu slot yang terisi, dan cabang yang tersedia menyusut seiring slot terpakai. Seret titik untuk merasakan pilihan yang menciut.

Mengapa rumusnya n!/(n−r)! ?

Banyaknya cara memilih r objek berurutan dari n sama dengan perkalian $n \cdot (n-1) \cdots (n-r+1)$ , sebanyak $r$ faktor. Hasil kali ini bisa ditulis rapi sebagai $\dfrac{n!}{(n-r)!}$ , karena $n!$ dibagi $(n-r)!$ menyisakan tepat $r$ faktor teratas.

Bangun di bawah memperlihatkan bagaimana tiap slot yang terisi menghapus satu cabang dari pohon permutasi. Seret titik menjauh atau mendekat pusat — banyaknya cabang yang tersisa menciut proporsional.

Pohon permutasi: cabang menyusut tiap langkah

Cara visual memahami permutasi adalah pohon: dari titik awal keluar $n$ cabang (pilihan objek pertama), dari tiap cabang keluar $n-1$ cabang (objek kedua), dan seterusnya. Banyaknya daun pohon inilah yang menjadi $P(n,r)$ . Bangun di bawah memperlihatkan jejak cabang sebagai segi banyak — seret titik untuk melihat percabangan menyusut.

Soal TKA dan UTBK sering menyelinap di kata “susunan”, “urutan”, atau “peringkat”. Trik: bila urutan diperhatikan (juara 1 ≠ juara 2), pakai permutasi. Bila hanya memilih tanpa urutan, itu kombinasi (topik berikutnya). Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aturan pencacahan sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Dari 8 pelari yang mengikuti lomba, hanya 3 podium tersedia (juara 1, 2, 3). Berapa banyak susunan pemenang yang mungkin?

Urutan diperhatikan (juara 1 berbeda dari juara 2), dan hanya 3 dari 8 dipakai. Ini permutasi $r$ dari $n$ : $P(8,3)$ .

$P(8,3) = \dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

Ada $336$ susunan pemenang berbeda yang mungkin untuk mengisi tiga podium.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — angkanya berubah setiap kali, tapi pola permutasinya tetap sama.

Jebakan: mengira $P(n,r) = n! \cdot r!$ . Yang benar: $P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ — faktorial di pembilang, dibagi $(n-r)!$ di penyebut.

Jebakan: menggunakan permutasi padahal urutan tidak diperhatikan. Yang benar: bila urutan tidak penting (mis. memilih 3 anggota tim tanpa peran), itu kombinasi, bukan permutasi. Permutasi khusus saat urutan diperhatikan.

Faktorial $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ ; konvensi $0! = 1$ .
Permutasi seluruh objek = $n!$ (semua dipakai, urutan diperhatikan).
Permutasi $r$ dari $n$ : $P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ .
Tiap slot terisi mengurangi pilihan slot berikutnya (perkalian menyusut).
Urutan diperhatikan → permutasi; urutan tidak penting → kombinasi.