Aturan Penjumlahan & Perkalian — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membedakan aturan penjumlahan (atau) dan aturan perkalian (dan) untuk menghitung banyak cara suatu kejadian majemuk.

Pagi ini kamu bingung memilih outfit: ada 3 kaos, 2 celana, dan 2 sepatu. Berapa banyak kombinasi outfit yang mungkin? Ternyata bukan dijumlahkan (3+2+2), tapi dikalikan (3×2×2 = 12). Inilah inti aturan perkalian, dan bedanya dengan penjumlahan adalah kunci semua soal pencacahan. Coba lihat pohonnya tumbuh di bawah.

Coba geser slider jumlah kaos dan perhatikan banyaknya kombinasi outfit tumbuh melonjak.

Aturan perkalian: “dan” berarti dikalikan

Kata kunci pencacahan ada di kata hubung. Kalau sebuah tugas terdiri dari beberapa tahap yang harus semua dilakukan (kaos dan celana dan sepatu), kamu memakai aturan perkalian. Banyak cara total adalah hasil kali banyaknya pilihan tiap tahap.

Aturan perkalian: jika tahap pertama dapat dilakukan $n_1$ cara, tahap kedua $n_2$ cara, dan seterusnya, maka banyak cara kedua tahap dilakukan bersamaan adalah $n_1 \times n_2 \times \cdots$ .

Bayangkan memilih outfit sebagai pohon: dari setiap kaos keluar beberapa cabang celana, dan dari setiap pasangan kaos-celana keluar cabang sepatu. Jumlah daun pohon itulah banyaknya kombinasi. Bangun di bawah memperlihatkan pohon outfit sebagai segi banyak — tiap titik adalah satu pilihan, dan cabangnya menyatakan pasangan.

Aturan penjumlahan: “atau” berarti dijumlahkan

Sebaliknya, kalau pilihan-pilihan itu alternatif (kaos atau kemeja, tidak keduanya), kamu memakai aturan penjumlahan. Banyak cara total adalah jumlah banyaknya pilihan tiap alternatif, asalkan tidak ada yang tumpang tindih.

$n_{\text{total}} = n_1 + n_2 + \cdots \quad \text{(alternatif saling lepas)}$

Arti tiap simbol: $n_1, n_2, \ldots$ = banyak cara tiap alternatif yang saling lepas (tidak beririsan).

Cara mudah ingat: “dan” artinya tahap berurutan yang harus semua dilakukan → kalikan. “Atau” artinya pilih salah satu → jumlahkan. Lirik kata hubung dulu sebelum memilih operasi.

Bangun di bawah memperlihatkan dua jalur terpisah sebagai dua sisi segitiga — masing-masing mewakili satu alternatif. Seret titik untuk mengubah besar tiap jalur; total cara adalah jumlah kedua sisi, bukan hasil kalinya.

Menggabungkan kedua aturan

Soal nyata sering menggabungkan keduanya. Contoh: kamu bisa ke sekolah lewat 2 jalur (bus atau kereta), lalu dari halte ada 3 pilihan jalan kaki. Maka total cara = $(2 + 3) \times \cdots$ — penjumlahan di dalam, lalu dikalikan dengan tahap berikutnya. Identifikasi dulu mana yang “atau” dan mana yang “dan”.

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga yang sisi-sisinya menyatakan tahap berbeda. Seret titik dan amati bagaimana kedua jenis operasi (jumlah vs kali) bekerja berdampingan.

Soal TKA dan UTBK hampir selalu menyelinap di kata hubung. Jebakan paling sering: menjumlahkan pilihan yang seharusnya dikalikan (atau sebaliknya). Trik: garis bawahi kata “atau” vs “dan” di soal sebelum memilih operasi. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aturan pencacahan sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah menu restoran menawarkan 4 jenis makanan pokok, 3 jenis lauk, dan 2 jenis minuman. Sebuah paket terdiri dari satu makanan pokok, satu lauk, dan satu minuman. Berapa banyak paket berbeda yang mungkin?

Paket terdiri dari makanan pokok dan lauk dan minuman — semua tahap harus dilakukan. Ini soal aturan perkalian.

Banyak paket $= 4 \times 3 \times 2 = 24$ . Jadi ada $24$ paket berbeda yang mungkin.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — angkanya berubah setiap kali, tapi pola perkaliannya tetap sama.

Jebakan: menjumlahkan pilihan yang seharusnya dikalikan. Yang benar: kata hubung “dan” → aturan perkalian (3 kaos dan 2 celana = 6, bukan 5).

Jebakan: mengalikan alternatif yang seharusnya dijumlahkan. Yang benar: kata hubung “atau” pada alternatif saling lepas → aturan penjumlahan (4 makanan atau 3 minuman = 7, bukan 12).

Kata “dan” (tahap berurutan) → aturan perkalian: $n_1 \times n_2 \times \cdots$ .
Kata “atau” (alternatif saling lepas) → aturan penjumlahan: $n_1 + n_2 + \cdots$ .
Pohon kombinasi memperlihatkan cabang tiap tahap; banyak daun = hasil kali.
Soal nyata sering menggabungkan keduanya: jumlahkan dulu, lalu kalikan.
Garis bawahi kata hubung soal sebelum memilih operasi.