Kejadian Saling Bebas & Aturan Perkalian — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menentukan apakah dua kejadian saling bebas dan menghitung peluang irisannya dengan aturan perkalian.

Lempar koin dan dadu sekaligus. Apakah hasil koin mengubah peluang mata dadu? Tidak — keduanya tak saling memengaruhi. Tapi ambil kartu berturut-turut tanpa dikembalikan, dan peluang kartu kedua berubah tergantung kartu pertama. Perbedaan inilah inti kebebasan kejadian. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan Putar dan perhatikan histogram jumlah dua dadu yang menstabil pada segitiga dengan puncak di 7 — tanda kedua dadu saling bebas.

Apa itu kejadian saling bebas

Dua kejadian disebut saling bebas bila terjadinya salah satu tidak mengubah peluang yang lain. Misalkan kamu melempar koin dan dadu bersamaan: hasil koin (GAR atau GAM) tak punya andil pada mata dadu, dan sebaliknya. Peluang koin GAR tetap $\tfrac{1}{2}$ apa pun mata dadu yang muncul.

Kejadian saling bebas berarti terjadinya $A$ tidak mengubah peluang $B$ , dan sebaliknya. Pada kasus ini, peluang irisan adalah hasil kali peluang masing-masing.

Kebalikannya adalah kejadian tak bebas, yaitu ketika hasil pertama memengaruhi peluang kedua. Contoh klasik: mengambil kartu dari dek tanpa dikembalikan — setelah satu kartu hilang, peluang kartu berikutnya berubah.

Rumus perkalian peluang

Untuk kejadian saling bebas, peluang keduanya terjadi serentak dihitung dengan perkalian.

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad \text{(bila } A, B \text{ saling bebas)}$

Arti tiap simbol: $A \cap B$ = irisan (kedua kejadian), $P(A), P(B)$ = peluang masing-masing secara terpisah.

Misalkan $A$ = “koin GAR” dengan $P(A) = \tfrac{1}{2}$ , dan $B$ = “dadu mata 6” dengan $P(B) = \tfrac{1}{6}$ . Karena keduanya bebas, $P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}$ . Ada 12 pasangan sama-mungkin dari koin dan dadu, dan hanya satu pasangan (GAR, 6) yang memenuhi — cocok dengan hasil perkalian.

Dua percobaan bebas: koin dan dadu

Verifikasi empirik untuk perkalian ini bisa kamu saksikan langsung. Lemparkan dua dadu di bawah; karena dadu pertama dan kedua saling bebas, peluang pasangan seperti $(3, 5)$ adalah $\tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$ — persis seperti yang kamu pelajari di ruang sampel.

Dua koin bebas: irisan = hasil kali

Saat melempar dua koin sekaligus, hasil koin pertama tak memengaruhi koin kedua. Misalkan $A$ = “koin pertama GAR” ( $P = \tfrac{1}{2}$ ) dan $B$ = “koin kedua GAR” ( $P = \tfrac{1}{2}$ ). Maka peluang keduanya GAR adalah $P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$ .

Anggap saja dua mesin terpisah yang tak saling ngobrol. Koin pertama tak tahu hasil koin kedua. Maka peluang keduanya sepakat muncul GAR cuma peluang satu-persatu yang dikalikan: setengah dari setengah adalah seperempat.

Empat hasil sama-mungkin adalah (GAR,GAR), (GAR,GAM), (GAM,GAR), (GAM,GAM) — hanya satu yang memenuhi, berpeluang $\tfrac{1}{4}$ . Lemparkan koin berkali-kali di bawah; batang GAR dan GAM tetap seimbang di sekitar $\tfrac{1}{2}$ , mendukung asumsi kebebasan.

Kontras: tanpa pengembalian (tak bebas)

Sekarang bandingkan dengan kasus tak bebas. Ambil kartu dari dek tanpa dikembalikan. Peluang kartu pertama hati adalah $\tfrac{13}{52} = \tfrac{1}{4}$ . Tapi setelah kartu pertama hati terambil, dek tinggal 51 kartu dengan 12 hati — peluang kartu kedua hati menjadi $\tfrac{12}{51}$ , bukan lagi $\tfrac{1}{4}$ .

Situasi	P(hati pertama)	P(hati kedua)	Saling bebas?
Dua dek terpisah	13/52	13/52	Ya
Satu dek, dikembalikan	13/52	13/52	Ya
Satu dek, tanpa kembali	13/52	12/51	Tidak

Bila kedua kartu diambil tanpa dikembalikan, hasil kali naif $\tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{16}$ SALAH. Yang benar adalah $\tfrac{13}{52} \cdot \tfrac{12}{51} = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{12}{51} \approx 0,059$ . Lemparkan kartu di bawah — keempat jenis tetap seimbang saat pengambilan acak, tetapi urutan tanpa pengembalian membuat peluang bergeser tergantung riwayat.

Soal saling bebas kerap muncul di TKA dan UTBK, biasanya dalam bentuk “dua kali pelemparan” atau “dua buah perangkat”. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan data dan peluang sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: memakai aturan perkalian pada kasus tanpa pengembalian — jawabannya jadi keliru.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Seekor koin adil dan sebuah dadu adil dilempar bersama. Tentukan peluang muncul GAR pada koin dan mata 5 pada dadu.

Koin dan dadu adalah dua percobaan terpisah; hasil koin tak memengaruhi dadu. Jadi kedua kejadian saling bebas, dan aturan perkalian berlaku.

$P(\text{GAR}) = \tfrac{1}{2}$ dan $P(\text{mata 5}) = \tfrac{1}{6}$ .

$P(\text{GAR} \cap \text{mata 5}) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}$ . Jawaban akhir: peluangnya $\tfrac{1}{12}$ .

Latih soal sejenis dengan angka acak di bawah — hitung dulu di kertas, lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: memakai P(A∩B) = P(A)·P(B) pada pengambilan tanpa pengembalian. Yang benar: aturan perkalian hanya untuk kejadian saling bebas; tanpa pengembalian, peluang kedua bergeser sehingga keduanya tak bebas.

Jebakan: menyamakan “saling bebas” dengan “saling lepas”. Yang benar: saling lepas berarti irisannya nol $P(A \cap B) = 0$ (tak mungkin bersamaan), sedangkan saling bebas berarti satu tak memengaruhi peluang lain.

Kejadian saling bebas: terjadinya $A$ tidak mengubah peluang $B$ , dan sebaliknya.
Aturan perkalian: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ hanya berlaku bila $A$ dan $B$ saling bebas.
Koin dan dadu, atau dua dadu, adalah contoh kejadian saling bebas.
Tanpa pengembalian, peluang bergeser sehingga kejadian tak bebas — aturan perkalian tak berlaku.
Saling bebas berbeda dari saling lepas: yang pertama soal pengaruh, yang kedua soal irisan.