Peluang Bersyarat — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung peluang bersyarat P(A|B) dari tabel silang dan menjelaskan mengapa P(A|B) tidak sama dengan P(B|A).

Sebuah tes cepat penyakit punya akurasi 99 persen. Kamu dites positif. Apakah peluangmu benar-benar sakit 99 persen? Ternyata bisa jauh lebih rendah — tergantung seberapa langka penyakit itu di populasi. Inilah kekuatan peluang bersyarat: dunia menyempit saat informasi baru diketahui. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan Putar dan perhatikan batang mata 4, 5, 6 yang menjadi ruang sampel baru saat diketahui “mata lebih dari 3”.

Apa itu peluang bersyarat

Peluang bersyarat muncul saat kamu sudah tahu sesuatu, sehingga dunia kemungkinan menyempit. Dilambangkan $P(A|B)$ , dibaca “peluang $A$ dengan syarat $B$ ”, yang berarti peluang $A$ terjadi dengan asumsi $B$ sudah pasti terjadi.

Peluang bersyarat $P(A|B)$ adalah peluang $A$ terjadi setelah diketahui $B$ terjadi. Ruang sampel menyempit menjadi hanya anggota $B$ .

Pada satu dadu, peluang mata genap adalah $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ . Tapi bila kamu sudah tahu hasilnya lebih dari 3, ruang sampel menyempit jadi $\{4, 5, 6\}$ — tiga mata saja. Dari tiga ini, yang genap ada dua (4 dan 6). Maka $P(\text{genap} \mid \text{lebih dari 3}) = \tfrac{2}{3}$ , bukan $\tfrac{1}{2}$ . Informasi baru mengubah peluang.

Rumus peluang bersyarat

Cara umum menghitung peluang bersyarat adalah membagi peluang irisan dengan peluang syarat.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Arti tiap simbol: $A \cap B$ = irisan (kedua terjadi), $B$ = kejadian syarat yang sudah diketahui terjadi, $P(B) > 0$ .

Logikanya: bila $B$ sudah terjadi, kamu hanya peduli pada bagian irisan $A \cap B$ di dalam $B$ . Maka pembilangnya irisan, penyebutnya peluang $B$ . Untuk kasus dadu di atas: $P(\text{genap} \cap \text{lebih dari 3}) = P(\{4, 6\}) = \tfrac{2}{6}$ , dan $P(\text{lebih dari 3}) = \tfrac{3}{6}$ . Maka $P(A|B) = \tfrac{2/6}{3/6} = \tfrac{2}{3}$ .

Tabel silang: vaksin terhadap sakit

Peluang bersyarat paling jelas dibaca dari tabel silang (dua arah). Misalkan 200 orang ditanya status vaksin dan kesehatan:

Status	Sakit	Sehat	Total
Divaksin	10	90	100
Belum	30	70	100
Total	40	160	200

Peluang seseorang sakit tanpa informasi apa pun adalah $\tfrac{40}{200} = 0,2$ . Tapi bila diketahui “belum divaksin”, dunia menyempit ke kolom 100 orang belum divaksin, dan 30 di antaranya sakit. Maka $P(\text{sakit} \mid \text{belum}) = \tfrac{30}{100} = 0,3$ . Sebaliknya $P(\text{sakit} \mid \text{divaksin}) = \tfrac{10}{100} = 0,1$ . Vaksin terbukti menurunkan peluang sakit.

Asosiasi dua variabel

Selain tabel silang, hubungan dua variabel bisa dilihat lewat diagram pencar dan koefisien korelasi. Data di bawah memperlihatkan hubungan antara cakupan vaksinasi sebuah wilayah (sumbu-x) dan angka kesakitan (sumbu-y). Garis tren menurun menandakan asosiasi negatif — makin tinggi vaksinasi, makin rendah kesakitan.

Penyaring populasi: dunia menyempit

Konsep inti peluang bersyarat adalah penyaring populasi. Saat syarat $B$ diketahui, semua anggota di luar $B$ “menghilang”, dan kamu hanya menghitung proporsi $A$ di dalam $B$ itu.

Bayangkan ruangan berisi 200 orang. Seseorang berteriak, “yang belum divaksin, angkat tangan!” Tiba-tiba 100 orang lenyap dari pandangan. Sekarang kamu ditanya: dari yang tersisa, berapa peluang seseorang sakit? Kamu hanya menghitung di ruangan yang sudah menyempit itu — bukan lagi seluruh 200 orang.

Lemparkan dadu berkali-kali di bawah; peluang mata tertentu menstabil di $\tfrac{1}{6}$ pada seluruh dadu, tetapi saat kamu “menyaring” hanya mata lebih dari 3, proporsi di antara tiga mata itu menyimpang dari rata-rata — itulah peluang bersyarat dalam aksi.

Pembalik P(A|B) vs P(B|A): jebakan klasik

Banyak orang mengira $P(A|B)$ sama dengan $P(B|A)$ . Itu salah besar, dan jebakan ini muncul di soal tes medis. Misalkan penyakit langka menyerang 1 dari 1.000 orang, dan tes positif jika sakit dengan peluang 99 persen, serta positif jika sehat (false positive) dengan peluang 5 persen.

Saat kamu dites positif, yang kamu mau adalah $P(\text{sakit} \mid \text{positif})$ , BUKAN $P(\text{positif} \mid \text{sakit})$ . Karena penyakit langka, banyak hasil positif datang dari orang sehat. Hasilnya, peluang kamu benar-benar sakit jauh di bawah 99 persen — sering hanya sekitar 2 persen. Inilah teorema Bayes dalam aksi nyata.

Jebakan: menyamakan P(positif | sakit) dengan P(sakit | positif). Yang benar: keduanya berbeda; saat penyakit langka, kebanyakan hasil positif adalah false positive, sehingga P(sakit | positif) tetap kecil.

Verifikasi konvergensi peluang bersyarat ada di bawah — lemparkan berkali-kali dan amati frekuensi relatif menstabil di nilai teoretis.

Peluang bersyarat adalah materi favorit TKA dan UTBK, terutama lewat tabel silang atau soal tes diagnostik. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan data dan peluang sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: tertukar antara $P(A|B)$ dan $P(B|A)$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Dari tabel silang vaksin di atas, tentukan peluang seseorang belum divaksin jika diketahui ia sakit.

Yang ditanya adalah $P(\text{belum} \mid \text{sakit})$ : peluang belum divaksin dengan syarat diketahui sakit. Ruang sampel menyempit ke baris “sakit”.

Irisan “belum divaksin dan sakit” ada 30 orang. Total yang sakit ada 40 orang, jadi $P(\text{sakit}) = \tfrac{40}{200}$ .

$P(\text{belum} \mid \text{sakit}) = \dfrac{30/200}{40/200} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}$ . Jawaban akhir: peluangnya $\tfrac{3}{4}$ .

Latih soal sejenis dengan angka acak di bawah — hitung dulu di kertas, lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: menyamakan P(sakit | positif) dengan P(positif | sakit). Yang benar: keduanya berbeda; pada penyakit langka, kebanyakan hasil positif adalah false positive, sehingga P(sakit | positif) jauh lebih kecil dari P(positif | sakit).

Jebakan: membagi irisan dengan total seluruh populasi. Yang benar: penyebut rumus P(A|B) adalah peluang syarat $P(B)$ , bukan $P(\text{semua})$ — ruang sampel sudah menyempit ke $B$ .

Peluang bersyarat $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ — irisan dibagi peluang syarat.
Ruang sampel menyempit ke $B$ saat syarat diketahui terjadi.
Dari tabel silang, $P(A|B)$ dibaca sebagai proporsi di baris/kolom syarat.
$P(A|B)$ pada umumnya tidak sama dengan $P(B|A)$ — jebakan tes diagnostik.
Bila $A$ dan $B$ saling bebas, $P(A|B) = P(A)$ ; syarat tak mengubah apa-apa.