Peluang Gabungan & Kejadian Saling Lepas — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung peluang gabungan dua kejadian dengan rumus inklusi-eksklusi dan mengenali kapan kasus saling lepas berlaku.

Saat dilakukan sensus kartu, peluang “kartu as” ditambah peluang “kartu hati” ternyata melebihi satu. Kenapa? Karena kartu as hati terhitung dua kali — sekali sebagai as, sekali sebagai hati. Untuk memperbaikinya, kamu harus mengurangi irisannya. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan Putar dan perhatikan dua batang (genap dan lebih dari 4) yang daerah gabungannya saling tumpang tindih pada mata 6.

Lemparkan dadu 5.000 kali. Histogram enam mata dibandingkan peluang teoretis 1/6. Sorotan menandai gabungan kejadian 'genap' {2,4,6} dengan 'lebih dari 4' {5,6}; mata 6 berada di irisan kedua kejadian sehingga gabungannya berisi lima mata {2,4,5,6} dengan peluang 5/6, bukan penjumlahan naif 3/6 + 2/6 = 5/6 yang kebetulan sama di sini — tapi bila irisannya nol, rumus berubah.

Irisan dan gabungan dua kejadian

Dua kejadian sering digabungkan dengan kata “atau” dan dipotong dengan kata “dan”. Gabungan $A \cup B$ adalah himpunan hasil yang memenuhi $A$ saja, $B$ saja, atau keduanya sekaligus. Sedangkan irisan $A \cap B$ adalah hasil yang memenuhi kedua kejadian serentak.

Gabungan $A \cup B$ adalah kejadian ” $A$ atau $B$ ” terjadi. Irisan $A \cap B$ adalah kejadian ” $A$ dan $B$ ” terjadi bersamaan.

Pada satu dadu, misalkan $A$ = “mata genap” $= \{2, 4, 6\}$ dan $B$ = “mata lebih dari 4” $= \{5, 6\}$ . Irisan keduanya adalah mata 6, karena 6 genap sekaligus lebih dari 4. Maka $A \cap B = \{6\}$ dan $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ .

Rumus inklusi-eksklusi

Bila kamu asal menjumlahkan $P(A) + P(B)$ , hasil pada irisan terhitung dua kali. Karena itu harus dikurangi sekali. Inilah inti rumus gabungan.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Arti tiap simbol: $A \cup B$ = gabungan, $A \cap B$ = irisan, $P(\cdot)$ = peluang masing-masing kejadian.

Pada contoh dadu di atas: $P(A) = \tfrac{3}{6}$ , $P(B) = \tfrac{2}{6}$ , dan $P(A \cap B) = P(\text{mata 6}) = \tfrac{1}{6}$ . Maka $P(A \cup B) = \tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}$ . Hasil ini cocok dengan menghitung langsung anggota gabungan yang berjumlah empat mata dari enam.

Kasus khusus: kejadian saling lepas

Dua kejadian disebut saling lepas bila tidak mungkin terjadi bersamaan — irisannya kosong. Pada satu dadu, “mata 1” dan “mata 6” tak bisa muncul serentak, jadi $P(A \cap B) = 0$ .

Kejadian saling lepas berarti $A \cap B = \emptyset$ , sehingga $P(A \cap B) = 0$ dan rumus gabungan menyederhan menjadi $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Lemparkan dadu di bawah dan amati dua batang terjauh (mata 1 dan mata 6). Karena keduanya tak pernah muncul serentak dalam satu lemparan, peluang gabungannya benar-benar hanya penjumlahan $\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{6}$ .

Contoh kartu: irisan tak nol

Dek standar berisi 52 kartu dengan empat jenis: hati, wajik, keriting, sekop — masing-masing 13 kartu. Misalkan $A$ = “kartu hati” dan $B$ = “kartu merah”. Karena hati seluruhnya berwarna merah, irisan $A \cap B$ justru sama dengan $A$ sendiri. Inilah kasus di mana salah satu kejadian tercakup penuh oleh yang lain.

Lemparkan kartu massal di bawah. Empat jenis muncul seimbang di sekitar $\tfrac{1}{4}$ ; perhatikan bahwa peluang “hati” ( $\tfrac{1}{4}$ ) ditambah peluang “merah” ( $\tfrac{1}{2}$ ) tanpa dikurangi irisan akan memberi $\tfrac{3}{4}$ — melebihi jawaban benar $\tfrac{1}{2}$ karena hati dihitung dua kali.

As atau hati: latih irisan pada dek

Sekarang uji contoh yang membuka artikel ini. $A$ = “kartu as” (4 kartu, $P = \tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13}$ ) dan $B$ = “kartu hati” (13 kartu, $P = \tfrac{13}{52} = \tfrac{1}{4}$ ). Irisan $A \cap B$ adalah satu kartu: as hati, berpeluang $\tfrac{1}{52}$ . Maka $P(A \cup B) = \tfrac{4}{52} + \tfrac{13}{52} - \tfrac{1}{52} = \tfrac{16}{52} = \tfrac{4}{13}$ .

Verifikasi empiriknya ada di bawah: lemparkan dek berkali-kali dan empat jenis tetap seimbang dekat $\tfrac{1}{4}$ , sementara peluang gabungan “as atau hati” terbaca sekitar $\tfrac{4}{13} \approx 0,308$ .

Soal peluang gabungan sering muncul di TKA dan UTBK dalam bentuk cerita kartu, dadu, atau bola berwarna. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan data dan peluang sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: menjumlahkan peluang dua kejadian tanpa memeriksa irisannya — jawaban jadi melebihi nilai sebenarnya.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Satu dadu adil dilempar. Tentukan peluang muncul mata kelipatan 3 atau mata ganjil.

Kelipatan 3 pada satu dadu adalah $A = \{3, 6\}$ , sehingga $|A| = 2$ . Mata ganjil adalah $B = \{1, 3, 5\}$ , sehingga $|B| = 3$ .

Irisan $A \cap B$ adalah mata yang kelipatan 3 sekaligus ganjil, yaitu hanya mata 3. Jadi $A \cap B = \{3\}$ dan irisannya tidak nol — kedua kejadian tidak saling lepas.

$P(A) = \tfrac{2}{6}$ , $P(B) = \tfrac{3}{6}$ , $P(A \cap B) = \tfrac{1}{6}$ . Maka $P(A \cup B) = \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{6} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}$ . Jawaban akhir: peluangnya $\tfrac{2}{3}$ .

Latih soal sejenis dengan angka acak di bawah — hitung dulu di kertas, lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: menjumlahkan P(A) + P(B) tanpa memeriksa irisan. Yang benar: selalu cek dulu apakah $A \cap B$ kosong; bila tidak, kurangi $P(A \cap B)$ sekali agar tidak dobelhitung.

Jebakan: mengira dua kejadian saling lepas hanya karena peluangnya kecil. Yang benar: saling lepas ditentukan oleh irisan yang kosong $A \cap B = \emptyset$ , bukan oleh besarnya peluang.

Gabungan $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ — selalu kurangi irisan agar tak dobel-hitung.
Kejadian saling lepas berarti $P(A \cap B) = 0$ , sehingga rumus menyedermet menjadi $P(A) + P(B)$ .
Irisan bukan nol terjadi bila ada hasil yang memenuhi kedua kejadian, misalnya “as hati” pada kartu.
Verifikasi empirik: simulasi massal menunjukkan frekuensi gabungan menstabil di nilai rumus.
Jebakan klasik: penjumlahan naif tanpa cek irisan membuat jawaban melebihi nilai sebenarnya.