Peluang Bertemu Kombinatorik — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung peluang kejadian yang ruang sampelnya butuh permutasi atau kombinasi dan menjelaskan paradoks ulang tahun.

Dalam kelas 23 orang, peluang ada dua anak berulang tahun pada hari yang sama ternyata lebih dari 50%. Bunainya mustahil — ada 365 hari, hanya 23 orang. Tapi matematika membuktikannya, dan simulasi memastikannya. Rahasianya: kamu tidak membandingkan satu orang dengan satu hari, melainkan setiap pasangan orang. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba atur banyak orang pada slider dan tekan Putar untuk menyimulasikan kelas; perhatikan kapan peluang kembar melampaui 50%.

Peluang klasik bertemu pencacahan

Rumus peluang klasik adalah jumlah hasil yang menguntungkan dibagi jumlah seluruh hasil mungkin. Selama ruang sampelnya kecil, kamu bisa menghitung manual. Tapi begitu ruang sampelnya besar — misalnya memilih 3 dari 10, atau mengacak 5 kartu dari 52 — menghitung satu per satu jadi mustahil. Di sinilah permutasi dan kombinasi membantu menghitung pembilang dan penyebut.

Peluang klasik suatu kejadian $A$ adalah $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$ , dengan $n(A)$ banyak hasil menguntungkan dan $n(S)$ banyak seluruh hasil ruang sampel. Ketika $n(A)$ dan $n(S)$ besar, keduanya dihitung lewat aturan pencacahan.

Pilihan alat pencacahan mengikuti soal: bila urutan diperhatikan pakai permutasi $P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ ; bila urutan tak penting pakai kombinasi $C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ . Sebagian besar soal peluang memakai kombinasi karena urutan hasil sering tak diperhatikan.

Paradoks ulang tahun

Mengapa 23 orang cukup untuk peluang ulang tahun kembar melebihi 50%? Triknya: jangan hitung peluang ada yang kembar langsung — itu rumit. Hitung dulu peluang kebalikannya: semua orang berulang tahun berbeda.

$P(\text{kembar}) = 1 - P(\text{semua beda}) = 1 - \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots$

Arti tiap simbol: tiap faktor adalah peluang orang ke- $k$ berulang tahun berbeda dari semua orang sebelumnya. Orang pertama bebas (365/365); orang kedua punya 364 hari tersisa; orang ketiga 363; dan seterusnya.

Dengan 23 orang, hasil perkalian di atas kira-kira 0,493, sehingga $P(\text{kembar}) \approx 0{,}507$ . Mengapa kontra-intuitif? Karena otak kita membandingkan 23 orang dengan tanggal kita sendiri, padahal yang penting adalah banyak pasangan: $\binom{23}{2} = 253$ pasangan, jauh lebih banyak dari yang kita kira.

Bayangkan setiap orang sebagai titik, dan setiap pasangan orang sebagai garis penghubung. Dengan 23 titik, ada 253 garis — itu banyak sekali peluang untuk satu pasangan beruntung berulang tahun sama. Paradoks ini “ajaib” hanya karena kita underestimate banyaknya pasangan.

Peluang dengan kartu: kombinasi mendominasi

Dek standar berisi 52 kartu. Peluang terambil 5 kartu semuanya hati (flush hati): banyak cara memilih 5 hati dari 13 hati adalah $\binom{13}{5} = 1287$ , sedangkan total cara memilih 5 kartu dari 52 adalah $\binom{52}{5} = 2.598.960$ . Maka peluangnya $\dfrac{1287}{2.598.960} \approx 0{,}0005$ — sekitar 1 dari 2.000.

Lemparkan dek massal di bawah untuk merasakan bahwa frekuensi empirik kejadian langka tetap menstabil di nilai teoretis seiring banyak percobaan membesar — hukum bilangan besar bekerja meski kejadiannya jarang.

Langkah	Permutasi / Kombinasi	Kapan dipakai
Hitung $n(S)$	Biasanya kombinasi	Memilih $r$ dari $n$ tanpa urutan
Hitung $n(A)$	Kombinasi atau permutasi	Tergantung soal
Bagi $n(A)/n(S)$	—	Itulah peluang

Berlatih menghitung peluang dengan kombinasi pada angka acak di bawah — kerjakan di kertas dulu, lalu periksa.

Soal peluang dengan pencacahan adalah andalan TKA Matematika (elemen data-peluang) dan Pengetahuan Kuantitatif UTBK. Kerangka TKA 045/H/AN/2025 memasukkan permutasi, kombinasi, dan peluang sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: keliru memakai permutasi padahal urutan tak penting (jawaban jadi kebesaran), atau salah menghitung $n(S)$ (penyebut) sehingga peluang melenceng.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Tiga bola diambil sekaligus acak. Berapa peluang ketiganya merah?

Banyak cara mengambil 3 bola dari 8 = $C(8,3) = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ .

Banyak cara mengambil 3 merah dari 5 merah = $C(5,3) = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ .

$P = \dfrac{10}{56} = \dfrac{5}{28} \approx 0{,}179$ . Jadi peluang ketiganya merah kira-kira 17,9%.

Jebakan: memakai permutasi padahal soal soal peluang tak memperhatikan urutan. Yang benar: ciri soal peluang klasik (pengambilan acak) biasanya tak peduli urutan → kombinasi; permutasi membuat penyebut kebesaran dan peluang keliru.

Jebakan: mengira paradoks ulang tahun salah karena “hanya 23 dari 365”. Yang benar: bandingkan banyak pasangan, bukan banyak orang — $\binom{23}{2} = 253$ pasangan cukup membuat peluang kembar melampaui 50%.

Peluang klasik $P(A) = n(A)/n(S)$ ; bila ruang sampel besar, $n(A)$ dan $n(S)$ dihitung lewat kombinasi/permutasi.
Sebagian besar soal peluang memakai kombinasi karena urutan hasil tak diperhatikan.
Paradoks ulang tahun: 23 orang sudah memberi peluang kembar $> 50\%$ — hitung kebalikannya (semua beda) lalu selesai.
Trik paradoks: banyak pasangan $\binom{n}{2}$ jauh lebih besar dari banyak orang.
Jebakan: pakai permutasi untuk soal peluang urutan-tak-penting, atau underestimate banyak pasangan.